1.
On pourra utiliser le résultat concernant les séries de Riemann donné à l’exercice 3
page 96. Donner la nature de la série de terme général
a) a n =
1 −
1
n
n
2
;
b) a n = e
−n
a , avec a > 0 ;
c) a n = sin
2 +
√
3
n p
;
(Montrer que
2 +
√
3
n +
2 −
√
3
n est un entier pair)
d) u n =
a n
(1 + a 0 ) · · · (1 + a n )
, où (a n ) est une suite positive ;
(Écrire u n = v n − v n−1 , avec v n bien choisi.)
e) a n = ln
1 +
ln n
n
;
f) a n =
1! + 2! + · · · + n !
(n + p)!
, où p est un entier naturel ;
(Montrer que 1! + 2! + · · · + n! 2 n!.)
g) a n =
0,
si l’écriture décimale de n contient un 5 ou n = 0 ;
1
n
, sinon.
2.
Nature et somme éventuelle de la série de terme général a n , avec
a) a n =
n
n 4 + n 2 + 1
;
(Écrire a n = u n−1 − u n , avec un choix convenable de u n )
b) a n = Arctan
2
(n + 1) 2
;
(Écrire a n = Arctan u n+2 − Arctan u n , avec un choix convenable de u n )
c) a n = ln
cos
u
2 n
, où u ∈
0,
p
2
;
(Exprimer les sommes partielles à l’aide de sin (2u))
d) a n =
1 + 2 + · · · + n
1 + 8 + · · · + n 3 ;
e) a n =
+∞
k=n+1
q
k , où q ∈ ]−1, 1[ ;
f) a n =
u n
u n+1
, où la suite (u n ) est définie par u 0 ∈ R
∗
+ et u n+1 = u n + u
2
n ;
g) a n =
1
n(n + p)
, où p est un entier naturel non nul ;
h) a n =
1
n
n 2 − 1
;
(Déterminer trois réels a, b et g tels que a n =
a
n − 1
+
b
n
+
g
n + 1
)
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