Chapitre 4 – Séries numériques
• On peut démontrer, à l’aide du théorème 3, que la possibilité de « sommer par paquets » est conservée pour
les familles sommables. Plus précisément :
Soit I et J deux ensembles au plus dénombrables et
K j
j∈J
une famille de parties de I. On suppose de plus que
• les ensembles K j sont deux à deux disjoints ;
• l’ensemble I est l’union des K j , i.e. I =
j∈J
K j .
Alors pour toute famille de complexes (a i ) i∈I , la famille (a i ) i∈I est sommable si, et seulement si, les conditions
suivantes sont vérifiées
• pour tout j ∈ J, (a i ) j∈Kj est sommable ;
• la famille
⎛
⎝
i∈Kj
|a i |
⎞
⎠
j∈J
est sommable.
De plus dans le cas de sommabilité, on a
i∈I
a i =
j∈J
⎛
⎝
i∈Kj
a i
⎞
⎠ .
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