© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Appendice : complément en vue des probabilités
Corollaire 3
Soit (a n ) une suite complexe telle que la série
a n soit absolument convergente et
s : N → N une bijection. Alors la série
a s(n) est absolument convergente et
+∞
n=0
a n =
+∞
n=0
a s(n) .
Preuve
Introduisons la suite double (bn,m) définie par
bn,m =
an, si s(m) = n ;
0,
sinon.
Il est clair que pour tout entier naturel n, la série
bn,m est absolument convergente et
+∞
j=0
|b n,j | = |an|. On
peut appliquer le théorème précédent et puisque pour tout entier naturel m,
+∞
i=0
b i,m = a s(m) , on a
+∞
i=0
a i =
+∞
i=0
⎛
⎝
+∞
j=0
b i,j
⎞
⎠ =
+∞
j=0
+∞
i=0
b i,j
=
+∞
j=0
a s(j) .
❑
Ainsi, lorsque qu’une série
a n est absolument convergente, sa somme ne dépend pas
de l’ordre dans lequel on prend les termes.
Définition 9
Soit I est un ensemble au plus dénombrable et (a i ) i∈I est une famille de nombres complexes.
On dit que la famille est sommable lorsque l’une des deux conditions suivantes est vérifiée.
L’ensemble I est fini.
L’ensemble I est dénombrable et il existe une indexation — c’est-à-dire une bijection
— w : k → i k de N sur I telle que la série
a ik soit absolument convergente. On note
alors
i∈I
a i =
+∞
k=0
a ik .
Il est important de retenir que la notation
i∈I
a i ne peut être utilisée que dans le
cas où l’ensemble d’indices est fini, ou lorsque la série
a ik , où i → i k est une
indexation de I par N, est absolument convergente.
➤ Remarques
• Le théorème 3 garantit dans le cas où I est dénombrable que le réel noté
i∈I
a i est intrinsèquement lié à la
famille (a i ) i∈I , c’est-à-dire qu’il ne dépend pas de l’indexation k → i k , ou encore qu’il est indépendant de tout
procédé de sommation.
• Si il existe qu’un nombre fini d’indices i tels que a i est non nul, alors la famille (a i ) i∈I est sommable.
111