Chapitre 4 – Séries numériques
Preuve
Notons S =
+∞
i=0
⎛
⎝
+∞
j=0
|a i,j |
⎞
⎠ . Il est clair, les termes étant positifs, que pour tout n et m entiers
n
i=0
|a i,m |
+∞
i=0
⎛
⎝
+∞
j=0
|a i,j |
⎞
⎠ , ce qui implique que la série
|an,m|, pour m fixé, est convergente. On a
également
0
m
j=0
n
i=0
|a i,j |
+∞
i=0
⎛
⎝
+∞
j=0
|a i,j |
⎞
⎠ ;
en faisant tendre n vers +∞, on obtient 0
m
j=0
+∞
i=0
|a i,j |
+∞
i=0
⎛
⎝
+∞
j=0
|a i,j |
⎞
⎠ , ce qui assure la
convergence de la série
+∞
i=0
|a i,m |
.
Le théorème de comparaison et l’inégalité triangulaire pour les séries garantissent alors l’existence de
S =
+∞
i=0
⎛
⎝
+∞
j=0
a i,j
⎞
⎠ et de S =
+∞
j=0
+∞
i=0
a i,j
.
Soit ´ un réel strictement positif. Les termes étant positifs, il existe un entier n0 tel que
S −
´
2
n0
i=0
⎛
⎝
+∞
j=0
|a i,j |
⎞
⎠ S.
En fixant n0, il existe un entier m0 tel que
0
n0
i=0
⎛
⎝
+∞
j=0
|a i,j |
⎞
⎠ −
n0
i=0
⎛
⎝
m0
j=0
|a i,j |
⎞
⎠
´
2
,
et donc S − ´
n0
i=0
⎛
⎝
m0
j=0
|a i,j |
⎞
⎠ S. Toujours du fait que tous les termes sont positifs, on a pour tout n et m
entiers, avec n n0 et m m0,
S − ´
n
i=0
⎛
⎝
m
j=0
|a i,j |
⎞
⎠ S.
Puisque
S
−
m
j=0
n
i=0
a i,j
=
n
i=0
⎛
⎝
+∞
j=m+1
a i,j
⎞
⎠ +
+∞
i=n+1
⎛
⎝
+∞
j=0
a i,j
⎞
⎠
n
i=0
⎛
⎝
+∞
j=m+1
|a i,j |
⎞
⎠ +
+∞
i=n+1
⎛
⎝
+∞
j=0
|a i,j |
⎞
⎠
= S −
n
i=0
⎛
⎝
m
j=0
|a i,j |
⎞
⎠ ´,
en faisant d’abord tendre n vers +∞, puis m, on obtient donc |S − S | ´. Cette dernière inégalité étant
vérifiée pour tout ´ strictement positif, on en déduit que S = S .
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