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Appendice : complément en vue des probabilités
tout entier naturel non nul, S n =
n
k=1
b k . On a pour tout entier naturel non nul
S 3n =
n
k=1
1
2k − 1
−
1
4k − 2
−
1
4k
=
1
2
n
k=1
1
2k − 1
−
1
2k
=
1
2
2n
k=1
(−1)
k+1
k
·
On en déduit alors facilement que la série
b n est convergente et
+∞
n=1
b n =
1
2
ln 2. Ainsi
+∞
n=1
a s(n) =
1
2
+∞
n=1
a n .
Cet exemple montre qu’il est parfois possible de « modifier l’ordre des termes d’une série de
manière à modifier la somme de la série ».
➤ Remarque
On peut exhiber des bijections s : N ∗ → N ∗ telles que la série
a s(n) soit divergente.
5.2 Séries doubles
Nous donnons ici un résultat technique, analogue au théorème de Fubini pour les
intégrales multiples (cf. chapitre 6). Il s’agit de montrer que sous certaines conditions qui
sont données plus bas, on peut manipuler les sommes d’une infinité dénombrable de
termes de la même manière que les sommes d’un nombre fini de termes.
Proposition 12 ( Fubini pour les séries )
Soit
a n,m
(n,m)∈N 2 une suite double complexe. On suppose que
i) pour tout entier n, la série
a n,m est absolument convergente ;
ii) la série
⎛
⎝
+∞
j=0
a n,j
⎞
⎠ est convergente.
Alors
i) pour tout entier m, la série
a n,m est absolument convergente ;
ii) la série
+∞
i=0
|a i,m |
est convergente et
+∞
i=0
⎛
⎝
+∞
j=0
a i,j
⎞
⎠ =
+∞
j=0
+∞
i=0
a i,j
.
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