Chapitre 4 – Séries numériques
Sommation par paquets
Plus généralement, si I et J sont des ensembles finis et si
I j
j∈J
est une famille de
parties de I telle que
les I j sont deux à deux disjoints ;
on a I =
j∈J
I j ;
alors
i∈I
a i =
j∈J
⎛
⎝
i∈Ij
a i
⎞
⎠ .
La situation est beaucoup plus délicate lorsque l’ensemble I des indices est infini pour
attribuer une somme à la famille (a i ) i∈I . Traitons par exemple le cas où I = N. Le plus
naturel serait alors de poser, du moins lorsque la série
a n converge,
n∈N
a n =
+∞
n=0
a n .
Pour que cette définition soit satisfaisante, il faudrait qu’elle soit indépendante de la
numérotation, c’est-à-dire que si s : N → N est une bijection, il faudrait avoir
+∞
n=0
a n =
+∞
n=0
a s(n) ,
pour toute suite (a n ) telle que la série
a n est convergente. Malheureusement, il
n’en n’est rien, comme le montre l’exemple suivant.
Exemple
Notons, pour tout entier naturel non nul n, a n =
(−1)
n+1
n
· On sait que la série harmonique
alternée est convergente et
+∞
n=1
(−1)
n+1
n
= ln 2,
(cf. exercice 1, page 86). Considérons l’application s : N
∗
→ N
∗ définie, pour tout k ∈ N
∗ ,
par
⎧
⎨
⎩
s(3k − 2) = 4k − 2,
s(3k − 1) = 4k,
s(3k)
= 2k − 1,
et la suite (b n ) n1 définie par b n = a s(n) . En d’autres termes, la suite (b n ) n1 est obtenue à partir
de la suite
(−1)
n+1
n
n1
en prenant les deux premiers termes d’indice pair, puis le premier
terme d’indice impair, puis les deux premiers termes d’indice pair suivants et le second terme
d’indice impair, etc. Il est quasi immédiat que l’application s est une bijection. Notons, pour
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