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Appendice : complément en vue des probabilités
2. Pour tout nombre complexe z tel que |z| < 1
+∞
k=0
k
2 z
k =
z + z
2
(1 − z)
3 ·
Pour le voir, il suffit de remarquer que
+∞
k=0
k
2 z
k =
+∞
k=0
k (k − 1) + k
z
k = z
2
+∞
k=2
k (k − 1) z
k−2 + z
+∞
k=1
kz
k−1 .
5. Appendice : complément en vue des probabilités
5.1 Position du problème
Du fait que l’addition est associative et commutative, l’ordre dans lequel on réalise les
opérations sur un nombre fini de termes n’a aucune importance.
En particulier, si I est un ensemble fini de cardinal n et (a i ) i∈I est une famille de
nombres complexes, en notant I = {i 1 , . . . , i n }, on peut définir
i∈I
a i par
i∈I
a i =
n
k=1
a ik .
Cette définition est intrinsèque, dans la mesure où elle ne dépend pas de la numérotation k → i k de l’ensemble I choisie. Rappelons que par convention
i∈∅
a i = 0.
On vérifie sans difficulté les propriétés suivantes.
Linéarité
Lorsque I est un ensemble fini, l’application (a i ) i∈I →
i∈I
a i de K
I à valeurs dans K
est linéaire.
Interversion de l’ordre de sommation
Lorsque I et J sont deux ensembles finis, alors pour toute famille (a i,j ) (i,j)∈I×J
(i,j)∈I×J
a i,j =
i∈I
⎛
⎝
j∈J
a i,j
⎞
⎠ =
j∈J
i∈I
a i,j
.
Additivité par rapport aux ensembles d’indices
Lorsque I et J sont deux ensembles finis disjoints, alors pour toute famille (a i ) i∈I∪J
i∈I∪J
a i =
i∈I
a i +
i∈J
a i .
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