Chapitre 4 – Séries numériques
Théorème 7
Soit p un entier naturel. Alors pour tout nombre complexe z tel que |z| < 1
+∞
k=p
k(k − 1) · · · (k − p + 1)z
k−p =
p!
(1 − z)
p+1 ·
Preuve
La convergence a été établie à la proposition précédente.
Notons, pour tout nombre complexe z de module strictement inférieur à 1 et pour tout entier naturel p,
Sp (z) =
+∞
k=p
k(k − 1) · · · (k − p + 1)
p !
z
k−p
⎛
⎝ =
+∞
j=0
j + p
p
z
j
⎞
⎠ .
Soit p un entier naturel. Alors, pour tout nombre complexe z, |z| < 1,
(1 − z) Sp+1 (z) =
+∞
j=0
j + p + 1
p + 1
z
j −
+∞
j=0
j + p + 1
p + 1
z
j+1
=
+∞
j=0
j + p + 1
p + 1
z
j −
+∞
j=1
j + p
p + 1
z
j
(décalage d’indices)
=
+∞
j=0
j + p + 1
p + 1
−
j + p
p + 1
z
j
=
+∞
j=0
j + p
p
z
j .
(formule de Pascal)
En d’autres termes, (1 − z)Sp+1(z) = Sp(z). D’après le théorème 2, on a S0 (z) =
1
1 − z
· Il vient alors facilement
par récurrence que, pour tout entier naturel p,
∀z ∈ C |z| < 1 =⇒
+∞
j=0
j + p
p
z
j =
1
(1 − z)
p+1
;
ce qui correspond au résultat recherché.
❑
➤ Remarque
On retient que la formule obtenue est dérivant formellement p fois par rapport à z la relation
+∞
k=0
z
k =
1
1 − z
est valable pour tout nombre complexe de module strictement inférieur à 1.
Exemples
1. Pour tout nombre complexe z tel que |z| < 1
+∞
k=0
kz
k =
z
(1 − z)
2 ·
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