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D’autres séries de référence
➤ Remarque
Une série géométrique est une série « dérivée » d’une série géométrique.
On pourrait définir de même une série « dérivée p-ième » d’une série
v n , où (v n )
est une suite de polynômes définie sur C, comme étant une série
v
(p)
n (z), pour
un nombre complexe z. Avec ces notations, supposons que le série
v
n (z) soit
convergente pour tout nombre complexe tel que |z| < R, où R est un réel strictement positif. Notons alors f (z) =
+∞
k=0
v k (z). Le lecteur pourrait être tenté d’écrire
f
(z) =
+∞
k=0
v
k (z). Une telle formule ne peut pas être justifiée en toute généralité
— et donc est interdite —, cela pour plusieurs raisons.
Le programme ne nous permet pas de dériver d’autres types de fonctions que
les polynômes complexes et certaines fonctions de la variable réelle. Même si la
fonction f est définie, il n’est pas sûr qu’elle soit dérivable en tant que fonction
de la variable réelle ou en tant que polynôme.
Il arrive que la fonction f soit dérivable sans que la série
v
n (z) soit convergente.
En résumé, « dériver une somme de série en dérivant terme à terme » est
interdit.
Proposition 11
La série
n (n − 1) · · · (n − p + 1) z
n−p , avec (z, p) ∈ C × N, converge si, et seulement
si, |z| < 1.
Preuve
Lorsque p = 0 il s’agit d’une série géométrique et donc il est nécessaire et suffisant que |z| < 1 pour
que la série converge. Lorsque p est un entier naturel non nul, et lorsque |z| 1, on a, du fait que
n(n − 1) · · · (n − p + 1) ∼ n
p ,
lim
n→+∞
n(n − 1) · · · (n − p + 1)z
n−p
= lim
n→+∞
n
p |z|
n−p = +∞,
et la série diverge grossièrement.
Supposons maintenant |z| < 1. Choisissons un réel r tel que |z| < r < 1. Alors
|n (n − 1) · · · (n − p + 1) z
n |
r n
∼ n
p
|z|
r
n
·
Puisque 0 <
|z|
r
< 1, lim
n→+∞
n
p
|z|
r
n
= 0, c’est-à-dire
n (n − 1) · · · (n − p + 1) |z|
n−p = o
r
n
.
D’après le théorème de comparaison, la série géométrique
r
n étant convergente, la série
n (n − 1) · · · (n − p + 1) z
n−p est absolument convergente, et donc convergente.
❑
105
D’autres séries de référence
➤ Remarque
Une série géométrique est une série « dérivée » d’une série géométrique.
On pourrait définir de même une série « dérivée p-ième » d’une série
v n , où (v n )
est une suite de polynômes définie sur C, comme étant une série
v
(p)
n (z), pour
un nombre complexe z. Avec ces notations, supposons que le série
v
n (z) soit
convergente pour tout nombre complexe tel que |z| < R, où R est un réel strictement positif. Notons alors f (z) =
+∞
k=0
v k (z). Le lecteur pourrait être tenté d’écrire
f
(z) =
+∞
k=0
v
k (z). Une telle formule ne peut pas être justifiée en toute généralité
— et donc est interdite —, cela pour plusieurs raisons.
Le programme ne nous permet pas de dériver d’autres types de fonctions que
les polynômes complexes et certaines fonctions de la variable réelle. Même si la
fonction f est définie, il n’est pas sûr qu’elle soit dérivable en tant que fonction
de la variable réelle ou en tant que polynôme.
Il arrive que la fonction f soit dérivable sans que la série
v
n (z) soit convergente.
En résumé, « dériver une somme de série en dérivant terme à terme » est
interdit.
Proposition 11
La série
n (n − 1) · · · (n − p + 1) z
n−p , avec (z, p) ∈ C × N, converge si, et seulement
si, |z| < 1.
Preuve
Lorsque p = 0 il s’agit d’une série géométrique et donc il est nécessaire et suffisant que |z| < 1 pour
que la série converge. Lorsque p est un entier naturel non nul, et lorsque |z| 1, on a, du fait que
n(n − 1) · · · (n − p + 1) ∼ n
p ,
lim
n→+∞
n(n − 1) · · · (n − p + 1)z
n−p
= lim
n→+∞
n
p |z|
n−p = +∞,
et la série diverge grossièrement.
Supposons maintenant |z| < 1. Choisissons un réel r tel que |z| < r < 1. Alors
|n (n − 1) · · · (n − p + 1) z
n |
r n
∼ n
p
|z|
r
n
·
Puisque 0 <
|z|
r
< 1, lim
n→+∞
n
p
|z|
r
n
= 0, c’est-à-dire
n (n − 1) · · · (n − p + 1) |z|
n−p = o
r
n
.
D’après le théorème de comparaison, la série géométrique
r
n étant convergente, la série
n (n − 1) · · · (n − p + 1) z
n−p est absolument convergente, et donc convergente.
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