Chapitre 4 – Séries numériques
En constatant que
1 + (−1)
k =
2, si k est pair ;
0, si k est impair ;
resp. 1 − (−1)
k =
0, si k est pair ;
2, si k est impair ;
on obtient les formules suivantes, valables pour tout réel x
+∞
k=0
x
2k
(2k)!
=
e
x + e
−x
2
et
+∞
k=0
x
2k+1
(2k + 1)!
=
e
x
− e
−x
2
·
Exercice 8.
Montrer, pour tout réel x que
(a) cos x =
+∞
k=0
(−1)
k x
2k
(2k)!
;
(b) sin x =
+∞
k=0
(−1)
k x
2k+1
(2k + 1)!
·
Solution.
(a) Soit x un réel et n un entier naturel. La fonction cosinus étant de classe C
∞ , la formule de
Taylor-Lagrange à l’ordre 2n + 1 assure l’existence d’un réel u n ∈ ]0, 1[ tel que
cos x =
n
k=0
(−1)
k x
2k
(2k)!
+ (−1)
n+1 x
2n+2
(2n + 2)!
cos (u n x) .
Ainsi, pour tout entier naturel n,
cos x −
n
k=0
(−1)
k x
2k
(2k)!
|x|
2n+2
(2n + 2)!
·
On conclut alors facilement en utilisant la remarque qui suit le théorème 6 page 103.
(b) Cette formule se démontre de la même manière.
4.2 Séries dérivées des séries géométriques
Définition 8
Une série « dérivée » d’une série géométrique est une série de terme général
n (n − 1) · · · (n − p + 1) z
n−p où z est un nombre complexe quelconque et p est un entier
naturel.
(On convient que n (n − 1) · · · (n − p + 1) 0
n−p = 0 lorsque n < p. )
Ainsi, une série « dérivée » d’une série géométrique est une série
u
(p)
n (z), où u n est
le polynôme défini sur C par u n : z → z
n .
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