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Théorème 6
Pour tout réel x,
+∞
k=0
x
k
k!
= e
x .
Preuve
Soit x un réel. Pour tout entier naturel n, du fait que la fonction exponentielle est de classe C ∞ , la formule de
Taylor-Lagrange à l’ordre n permet d’établir l’existence d’un réel un ∈ ]0, 1[ tel que
e
x =
n
k=0
x
k
k!
+
x
n+1
(n + 1)!
e
unx .
(1)
En particulier, si t est un réel positif — de par la positivité de la fonction exponentielle —, on a
n
k=0
t
k
k!
e
t .
Ainsi,
n
k=0
|x|
k
k!
e
|x| ,
et donc la série
x
n
n!
est absolument convergente. En particulier, lim
n→+∞
|x|
n
n!
= 0.
D’autre part, puisque unx |x| et puisque la fonction exponentielle est croissante, pour tout x réel et pour tout
entier naturel n
x
n+1
(n + 1)!
e
unx
|x|
n+1
(n + 1)!
e
|x| .
On conclut alors facilement, en faisant tendre n vers +∞, dans la relation (1).
❑
➤ Remarque
On retrouve en particulier un résultat vu en exercice (cf. cours de première année, chapitre XI, paragraphe 2.3,
exercice XI.2), à savoir que pour tout réel x
lim
n→+∞
x
n
n!
= 0.
Exercice 7.
Calculer, pour tout réel x, les sommes
+∞
k=0
x
2k
(2k)!
et
+∞
k=0
x
2k+1
(2k + 1)!
·
Solution. On remarque que
e
x
=
+∞
k=0
x
k
k!
;
e
−x
=
+∞
k=0
(−1)
k x
k
k!
·
En sommant (et retranchant) ces deux équations, on obtient
e
x + e
−x
=
+∞
k=0
1 + (−1)
k
x
k
k!
;
e
x
− e
−x
=
+∞
k=0
1 − (−1)
k
x
k
k!
·
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