Chapitre 4 – Séries numériques
Proposition 9
On note
1 (K) l’ensemble des suites à valeurs dans K telles que la série
a n soit absolument
convergente.
L’ensemble
1 (K) est un K-espace vectoriel pour les lois usuelles.
Preuve
Il suffit de montrer que
1 (K) est un sous-espace vectoriel de K N . Il est clair que la série
0 est absolument
convergente. Il est quasi immédiat que si la suite (an) est un élément de
1 (K), alors pour tout scalaire l, la série
lan est absolument convergente et donc (lan) ∈
1 (K). Enfin, si les séries
an et
bn sont absolument
convergentes, puisque
∀n ∈ N
|an + bn| |an| + |bn| ,
par linéarité et par le théorème de comparaison, la série
|an + bn| est convergente. Ainsi,
1 (K) est stable par
combinaisons linéaires.
❑
Proposition 10 (Inégalité triangulaire pour les séries)
Soit (a n ) une suite à valeurs dans K telle que la série
a n soit absolument convergente. Alors
+∞
k=0
a k
+∞
k=0
|a k | .
Preuve
Puisque la série
|an| est convergente et à terme général positif, la suite
n
k=0
|a k |
est croissante et, pour
tout entier naturel n,
n
k=0
|a k |
+∞
k=0
|a k | .
Ainsi, l’inégalité triangulaire donne
n
k=0
a k
n
k=0
|a k |
+∞
k=0
|a k | .
On obtient l’inégalité annoncée en passant à la limite dans l’inégalité
n
k=0
a k
+∞
k=0
|a k |.
❑
4. D’autres séries de référence
4.1 Séries exponentielles
Définition 7
Une série exponentielle (réelle) est une série de terme général
x
n
n!
, où x est un nombre
réel quelconque.
102