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Séries absolument convergentes
3. Séries absolument convergentes
Définition 6
Soit (a n ) une suite à valeurs dans K. La série
a n est absolument convergente si, et
seulement si, la série
|a n | est convergente.
Théorème 5
Toute série absolument convergente est convergente.
La réciproque est fausse.
Preuve
Soit (an) une suite numérique telle que la série
an soit absolument convergente.
Cas réel
Rappelons, pour tout réel x, les notations
x
+ =
|x| + x
2
=
|x| , si x 0 ;
0,
sinon ;
et x
− =
|x| − x
2
=
|x| , si x 0 ;
0,
sinon.
On rappel également que pour tout x réel
0 x
+ |x| ; 0 x
− |x| ; x = x
+ − x
− .
D’après le théorème de comparaison, il s’ensuit que les séries
a
+
n et
a
−
n sont convergentes et, par linéarité,
la série
a
+
n − a
−
n
=
an est convergente.
Cas complexe
On rappelle les inégalités
|| (z)| |z| , || (z)| |z| ,
valables pour tout nombre complexe z. D’après le théorème de comparaison, les séries
(an) et
(an) sont ainsi absolument convergentes et, d’après le cas réel, convergentes. Par linéarité, la série
(an) + i (an)
=
an est convergente.
❑
Exemple
La série harmonique alternée
(−1)
n+1
n
est convergente, mais elle n’est pas absolument
convergente.
➤ Remarques
• En cherchant à démontrer la convergence d’une série en montrant qu’elle est absolument convergente, on
ramène l’étude de la convergence d’une série à l’étude de la convergence d’une série à terme général positif.
On y gagne souvent, du fait du nombre important de résultats dont nous disposons sur les séries à terme
général positif.
• On dit qu’une série convergente
an qui n’est pas absolument convergente est, bien que la formule ne soit
guère heureuse, semi-convergente.
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