Chapitre 4 – Séries numériques
Puisque ln u n − ln u n−1 ∼ −
1
12n 2 , les deux suites sont négatives et puisque la série de
Riemann
1
n 2 est convergente, la règle des équivalents nous permet de conclure à la
convergence de la série
(ln u n − ln u n−1 ).
En notant respectivement, pour n 2, S n , R n et S la somme partielle d’ordre n, le reste
d’ordre n et la somme de la série
(ln u n − ln u n−1 ), on a S n + R n = S, ce qui se traduit
par
(i) lnu n = K − R n ,
où K = S − 1. Il est alors immédiat que lim
n→+∞
u n = e
K .
2. D’après la question précédente, n! ∼ Ln
n+
1
2 e
−n , avec L = e
K (remarquer que L = 0). Il
s’ensuit que
I 2n =
(2n)!
n!2 2n
p
2
∼
1
L
p
√
2n
·
En utilisant les deux équivalents de I 2n , on obtient
lim
n→+∞
√
nI 2n =
√
p
2
=
1
L
p
√
2
,
c’est-à-dire L =
√
2p.
3. La relation (i) se traduit en passant à l’exponentielle par u n =
√
2pe
−Rn . Puisque
ln u n − ln u n−1 ∼ −
1
12n 2 , les deux exercices précédents donnent
−R n ∼
1
12
+∞
k=n+1
1
k 2 ∼
1
12n
·
Ainsi, à l’aide du développement limité en 0 à l’ordre 1 de la fonction exponentielle
n!e
n
n n+
1
2
=
√
2p exp
1
12n
+ o
1
n
=
√
2p
1 +
1
12n
+ o
1
n
·
➤ Remarques
• Il existe une méthode pour obtenir un développement limité en
1
n
à tout ordre de un.
• L’équivalent n! ∼
√
2pn
n+
1
2 e −n est en général attribué au mathématicien écossais James Stirling (1692-1770),
mais elle est essentiellement dû à Abraham de Moivre (1667-1754), Stirling n’étant redevable « que » du
«
√
2p ». Moivre — huguenot réfugié en Angleterre — l’utilise en 1733 pour démontrer le résultat connu
aujourd’hui sous le nom de théorème de Moivre-Laplace (cf. chapitre 12).
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