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3 • Extrema
et
w :
R
3
→ R
(x, y, z) → w(x, y, z) := x
2 + y
2 + z
2 + x y − xz .
i). Montrer que g
s’annule seulement en t = 1.
ii). Montrer que w est à valeurs positives, et s’annule seulement en (0, 0, 0).
iii). Soit f = g ◦ w. Montrer que a ∈ R
3 est un point critique de f si et seulement
si a = (0, 0, 0) ou w(a) = 1.
iv). Déterminer la matrice hessienne de f en (0, 0, 0). En déduire la nature de ce
point critique.
v). Montrer que f est à valeurs positives. En déduire que tout point critique non nul
de f est un minimum global de f .
Exercice 3.4 Soient des nombres réels strictement positifs a 1 , . . . , a n tels que
n
i=1 a i = 1, et soit
f : (R
+ )
n
→ R
x = (x 1 , . . . , x n ) → x
a 1
1 × · · · × x
a n
n .
On notera C := {x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ (R
+ )
n ;
n
i=1 a i x i = 1} .
i). Montrer qu’il existe a = (a 1 , . . . , a n ) ∈ C tel que f (a) = sup x∈C f (x), et que
a i > 0 pour tout i ∈ {1, . . . , n}.
ii). Trouver tous les points a ∈ C tels que f (a) = sup x∈C f (x). En déduire que
pour tout x ∈ C, x
a 1
1 · · · x
a n
n ≤ 1.
iii). Montrer que pour tout x ∈ (R
+ )
n , x
a 1
1 · · · x
a n
n ≤
n
i=1 a i x i . Dans quel(s) cas
a-t-on égalité ?
iv). On considère dans R
3 un parallélépipède rectangle dont les côtés ont respectivement pour longueur x, y, et z. On note V son volume et S l’aire de sa surface.
En exprimant S et V en fonction de x, y, z, et en utilisant ce qui précède montrer
que
V
2/3
≤ S/6 .
Comment obtenir un parallélépipède rectangle de surface minimale à volume
donné ?