Exercices
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Exercice 3.5 Soient U = { x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ R
n ; x i > 0 ∀i ∈
{1, . . . , n} }, a ∈ R
+∗ , et
f :
U
→ R
x = (x 1 , . . . , x n ) → f (x) :=
n
k=1
x k + a
n+1
n
k=1
1
x k
.
i). Montrer que f est de classe C
∞ sur U .
ii). Calculer d f (x) pour tout x ∈ U .
iii). Montrer que f admet un unique point critique a ∈ U (c’est-à-dire tel que
d f a = 0).
iv). Calculer d
2 f (x) pour tout x ∈ U .
v). Montrer que a est un minimum local strict pour f .
vi). Dans quel cas simple peut-on dire que a est un minimum global ?
Exercice 3.6 Transformée de Legendre
Soit
L : R
n
× R
n
→ R
(q, ˙
q)
→ L(q, ˙
q)
de classe C
2 . On suppose que L est strictement convexe par rapport à ˙
q, c’est-à-dire
que la matrice de coefficients
∂
2 L
∂ ˙
q i ˙
q j
(q, ˙
q) est définie positive quel que soit (q, ˙
q).
i). Montrer que l’application (q, ˙
q) → (q, p) avec
p := ∇ ˙
q L(q, ˙
q) , i.e. p j =
∂ L
∂ ˙
q j
, j ∈ {1, . . . , n} ,
est un difféomorphisme local en tout point de R
n
×R
n . Pour simplifier on suppose
dans la suite que c’est un difféomorphisme global.
ii). Soient r : R
n
× R
n
→ R
n tel que
r (q, ∇ ˙
q L(q, ˙
q)) = ˙
q
pour tout (q, ˙
q) ∈ R
n
× R
n , et
H : R
n
× R
n
→ R
(q, p)
→
n
j=1 p j r j (q, p) − L(q, r (q, p)) ,
que l’on appelle hamiltonien associée au lagrangien L. Montrer que pour tout
j ∈ {1, . . . , n},
∂ H
∂q j
(q, p) = −
∂ L
∂q j
(q, r (q, p)) ,
∂ H
∂ p j
(q, p) = r j (q, p) .
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