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3 • Extrema
iii). En déduire que l’équation d’Euler–Lagrange pour L équivaut au système hamiltonien :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
dq j
dt
=
∂ H
∂ p j
(q, p) ,
d p j
dt
= −
∂ H
∂q j
(q, p) .
iv). Calculer le hamiltonien H associé à un lagrangien L de la forme
L(q, ˙
q) =
1
2
˙
q
2
− U (q) ,
et écrire le système hamiltonien correspondant.
Exercice 3.7 Formule de Lax
On considère une équation aux dérivées partielles non-linéaire, appelée équation de
Hamilton–Jacobi, de la forme
∂ t v + f (∂ x v) = 0 ,
(3.2)
où l’inconnue v est à valeurs dans R et la fonction f (appelée fonction flux) est de
classe C
∞ (pour simplifier) et strictement convexe, c’est-à-dire que f
(u) > 0 pour
tout u ∈ R. On note f
∗ sa fonction convexe conjuguée. On suppose en outre que
f
est globalement Lipschitzienne. On se donne v 0 ∈ C
2
b (R) (c’est-à-dire que v 0 ,
v
0 et v
0 sont bornées). Montrer que, si v ∈ C
2
b (R × [0, T ]) est solution de (3.2) et
v(x, 0) = v 0 (x) pour tout x ∈ R, alors pour tout (x, t) ∈ R × [0, T ],
v(x, t) = inf
y∈R
v 0 (y) + t f
∗
x − y
t
.
Exercice 3.8 Soient U un ouvert convexe de R
n , f ∈ C
∞ (U ; R
n ), et pour tout
u ∈ U , A(u) = D f (u) la matrice jacobienne de f . On suppose qu’il existe E ∈
C
∞ (U ; R), strictement convexe, c’est-à-dire telle que d
2 E(u) > 0 pour tout u ∈ U ,
et F ∈ C
∞ (U ; R) telles que
dE(u) ◦ d f (u) = dF(u)
pour tout u ∈ U . L’objectif est de montrer, en faisant le moins de calculs possible,
que pour tout u ∈ U , la matrice HessE(u)A(u) est symétrique. On va utiliser pour
cela la fonction convexe conjuguée de E, notée E
∗ . Soient f : q → dE
∗ (q), et
g = f ◦ f.
i). Montrer que g = dG avec
G : q → →q , g(q) − (F ◦ f)(q) .
ii). Exprimer d f à l’aide de d
2 G et d
2 E et conclure.