Solution des exercices
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SOLUTION DES EXERCICES
Exercice 3.1
i). La fonction f est de classe C
∞ comme composée de l’application linéaire (donc
C
∞ sur R
n ) x → (A(x), x) et du produit scalaire (bilinéaire et donc C
∞ sur
R
n
× R
n ).
ii). La sphère unité de R
n étant compacte, la fonction continue f atteint son minimum sur cette sphère.
iii). C’est un problème de minimisation sous la contrainte g(u) = 0 avec g(u) :=
u
2
− 1. Donc d’après le théorème 3.5, il existe l ∈ R tel que d f (v) = ldg(v).
Or d f (v) · h = 2 A(v), h et dg(v) · h = 2v, h quel que soit h ∈ R
n . Donc
A(v) = lv.
iv). Par définition, l est une valeur propre de A (noter que v = 0 puisqu’il est
unitaire). Si m est une autre valeur propre, on peut lui associer un vecteur propre
unitaire w, pour lequel on a f (w) = m ≥ inf x=1 f (x) = l.
Exercice 3.2
i). La fonction
f : R
n
→ R
x
→ →x − a
2
x − b
2
est la composée de l’application affine x ∈ R
n
→ (x − a, x − a, x − b, x − b) ∈
(R
n )
4 et de la forme quadrilinéaire (w, x, y, z) ∈ (R
n )
4
→ →w, xy, z, qui
sont toutes deux de classe C
∞ d’après le cours (les applications affines étant
elles-mêmes sommes d’applications linéaires et d’applications constantes).
ii). On différencie f grâce à cette décomposition :
d f (x) · h = 2x − b
2
x − a, h + 2x − a
2
x − b, h ,
d
2 f (x) · (h, k) = 2 (x − a
2 + x − b
2 ) h, k + 4 x − a, h x − b, k
+ 4x − a, k x − b, h .
iii). On peut réécrire par linéarité
d f (x) · h = 2x − b
2 (x − a) + x − a
2 (x − b), h .
Par suite, si d f (x) est identiquemment nulle on doit avoir
x − b
2 (x − a) + x − a
2 (x − b) = 0 .
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