92
3 • Extrema
Des solutions évidentes sont x = a et x = b. Si x
= a et x
= b, l’égalité
ci-dessus implique que les deux vecteurs (x − a) et (x − b) sont colinéaires : en
posant par exemple x − b = a(x − a) on trouve de plus que a
2 + a = 0 et donc
a = −1, ce qui donne finalement x = (a + b)/2. Les points critiques de f sont
donc a, b et (a + b)/2.
iv). Les points a et b sont des minima globaux (et a fortiori locaux), puisque f (a) =
f (b) = 0 et f (x) ≥ 0 quel que soit x ∈ R
n . Pour le point critique c := (a + b)/2
on a
d
2 f (c) · (h, h) = b − a
2
h
2
− 2 b − a, h
2 .
On constate en particulier que d
2 f c (b − a, b − a) = −−b − a
4 < 0, tandis que
pour h = 0 orthogonal à (b − a), on a d
2 f (c) · (h, h) = b − a
2
h
2 > 0.
Donc d
2 f c n’est ni définie positive ni définie négative et par conséquent c n’est
pas un extremum local de f (ni a fortiori global).
Exercice 3.3
i). On calcule g
(t) = (t −1)(3t +1) et comme −1/3 /
∈ R
+ (le domaine de définition
de g et donc de g
), on en déduit que g
s’annule seulement en t = 1.
ii). On a 2 w(x, y, z) := (x + y)
2 + (x − y)
2 + y
2 + z
2
≥ 0 comme somme de termes
positifs ou nuls, et w(x, y, z) = 0 si et seulement tous ces termes sont nuls, ce
qui équivaut à z = 0, y = 0 et x = 0.
iii). Par la formule de différentiation des fonctions composées on a d f (a) · h =
g
(w(a)) dw(a) · h. Ainsi d f (a) ≡ 0 si et seulement si g
(w(a)) = 0 ou dw a ≡ 0.
Comme w est à valeurs dans R
+ , g
(w(a)) = 0 équivaut d’après le 1) à w(a) = 1.
D’autre part, pour a = (a 1 , a 2 , a 3 ) et h = (h 1 , h 2 , h 3 ) on a
dw a (h) = (2a 1 + a 2 − a 3 )h 1 + (2a 2 + a 1 )h 2 + (2a 3 − a 1 )h 3 ,
et par conséquent dw a ≡ 0 équivaut à
⎧
⎨
⎩
2a 1 + a 2 − a 3 = 0 ,
2a 2 + a 1 = 0 ,
2a 3 − a 1 = 0 ,
système linéaire dont la seule solution est a = (0, 0, 0) .
iv). Par la formule de différentiation des fonctions composées, on a pour tout h,
k ∈ R
3 ,
d
2 f (a) · (h, k) = g
(w(a)) dw a (k) dw(a) · h + g
(w(a)) d
2 w(a) · (h, k) .
En particulier, pour a = (0, 0, 0) le premier terme est nul et il reste
d
2 f (0, 0, 0) · (h, k) = g
(0) d
2 w(0, 0, 0) · (h, k) = − d
2 w(0, 0, 0) · (h, k) .
3 • Extrema
Des solutions évidentes sont x = a et x = b. Si x
= a et x
= b, l’égalité
ci-dessus implique que les deux vecteurs (x − a) et (x − b) sont colinéaires : en
posant par exemple x − b = a(x − a) on trouve de plus que a
2 + a = 0 et donc
a = −1, ce qui donne finalement x = (a + b)/2. Les points critiques de f sont
donc a, b et (a + b)/2.
iv). Les points a et b sont des minima globaux (et a fortiori locaux), puisque f (a) =
f (b) = 0 et f (x) ≥ 0 quel que soit x ∈ R
n . Pour le point critique c := (a + b)/2
on a
d
2 f (c) · (h, h) = b − a
2
h
2
− 2 b − a, h
2 .
On constate en particulier que d
2 f c (b − a, b − a) = −−b − a
4 < 0, tandis que
pour h = 0 orthogonal à (b − a), on a d
2 f (c) · (h, h) = b − a
2
h
2 > 0.
Donc d
2 f c n’est ni définie positive ni définie négative et par conséquent c n’est
pas un extremum local de f (ni a fortiori global).
Exercice 3.3
i). On calcule g
(t) = (t −1)(3t +1) et comme −1/3 /
∈ R
+ (le domaine de définition
de g et donc de g
), on en déduit que g
s’annule seulement en t = 1.
ii). On a 2 w(x, y, z) := (x + y)
2 + (x − y)
2 + y
2 + z
2
≥ 0 comme somme de termes
positifs ou nuls, et w(x, y, z) = 0 si et seulement tous ces termes sont nuls, ce
qui équivaut à z = 0, y = 0 et x = 0.
iii). Par la formule de différentiation des fonctions composées on a d f (a) · h =
g
(w(a)) dw(a) · h. Ainsi d f (a) ≡ 0 si et seulement si g
(w(a)) = 0 ou dw a ≡ 0.
Comme w est à valeurs dans R
+ , g
(w(a)) = 0 équivaut d’après le 1) à w(a) = 1.
D’autre part, pour a = (a 1 , a 2 , a 3 ) et h = (h 1 , h 2 , h 3 ) on a
dw a (h) = (2a 1 + a 2 − a 3 )h 1 + (2a 2 + a 1 )h 2 + (2a 3 − a 1 )h 3 ,
et par conséquent dw a ≡ 0 équivaut à
⎧
⎨
⎩
2a 1 + a 2 − a 3 = 0 ,
2a 2 + a 1 = 0 ,
2a 3 − a 1 = 0 ,
système linéaire dont la seule solution est a = (0, 0, 0) .
iv). Par la formule de différentiation des fonctions composées, on a pour tout h,
k ∈ R
3 ,
d
2 f (a) · (h, k) = g
(w(a)) dw a (k) dw(a) · h + g
(w(a)) d
2 w(a) · (h, k) .
En particulier, pour a = (0, 0, 0) le premier terme est nul et il reste
d
2 f (0, 0, 0) · (h, k) = g
(0) d
2 w(0, 0, 0) · (h, k) = − d
2 w(0, 0, 0) · (h, k) .