Solution des exercices
93
Par conséquent la matrice hessienne de f au point (0, 0, 0) est l’opposé de la
matrice hessienne de w au même point. Elle s’écrit
D
2 f (0, 0, 0) =
⎛
⎝
−2 −1 1
−1 −2 0
1
0 −2
⎞
⎠ .
Comme w est quadratique définie positive d’après le 2), sa hessienne D
2 w(0, 0, 0)
est aussi définie positive (on a d
2 w(a) · (h, h) = 2w(h) pour tout h ∈ R
3 ) et
(0, 0, 0) est donc maximum local de f .
v). Le point t = 1 est un minimum global de la fonction g (qui est décroissante sur
[0, 1] et croissante sur [1, +∞[), donc g est à valeurs positives, et par conséquent
f aussi. Si a = (0, 0, 0) est un point critique de f , alors d’après le 3) on a
w(a) = 1 et donc f (a) = g(1) = 0, ce qui montre que a est un minimum global
puisqu’on vient de montrer que pour tout b ∈ R
3 , f (b) ≥ 0.
Exercice 3.4
i). L’ensemble C est fermé comme image réciproque du singleton {1} par l’application
g : (R
+ )
n
→ R
x = (x 1 , . . . , x n ) →
n
i=1 a i x i ,
restriction à (R
+ )
n d’une forme linéaire sur R
n , qui est donc continue. De plus
C est borné : pour tout x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ C, pour tout i ∈ {1, . . . , n}, on a
0 ≤ a i x i ≤ 1 et donc 0 ≤ x i ≤ 1/a i puisque a i > 0 par hypothèse. Donc C
est un compact de R
n , et comme f est continue (comme fonction polynômiale),
elle atteint son maximum sur C : il existe a ∈ C tel que f (a) = max x∈C f (x).
De plus, les composantes de a sont strictement positives car si l’une était nulle
on aurait f (a) = 0. Or f prend des valeurs strictement positives (par exemple
f (1, . . . , 1) = 1), donc a ne pourrait pas être un maximum de f .
ii). D’après ce qui précède, les points a ∈ C tels que f (a) = sup x∈C f (x) sont dans
l’ouvert ]0, +∞[
n . Ce sont en outre des extrema de f sous la contrainte g(x) = 1.
Donc d’après le théorème des multiplicateurs de Lagrange, si a est l’un d’entre
eux, il existe l ∈ R tel que d f (a) = ldg(a). Or
d f (a) · h =
n
i=1
a i a
a i −1
i
h i
j =i
a
a j
j , dg(a) · h =
n
i=1
a i h i ,
donc pour tout i ∈ {1, . . . , n},
a i a
a i −1
i
j =i
a
a j
j = la i ,
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
93
Par conséquent la matrice hessienne de f au point (0, 0, 0) est l’opposé de la
matrice hessienne de w au même point. Elle s’écrit
D
2 f (0, 0, 0) =
⎛
⎝
−2 −1 1
−1 −2 0
1
0 −2
⎞
⎠ .
Comme w est quadratique définie positive d’après le 2), sa hessienne D
2 w(0, 0, 0)
est aussi définie positive (on a d
2 w(a) · (h, h) = 2w(h) pour tout h ∈ R
3 ) et
(0, 0, 0) est donc maximum local de f .
v). Le point t = 1 est un minimum global de la fonction g (qui est décroissante sur
[0, 1] et croissante sur [1, +∞[), donc g est à valeurs positives, et par conséquent
f aussi. Si a = (0, 0, 0) est un point critique de f , alors d’après le 3) on a
w(a) = 1 et donc f (a) = g(1) = 0, ce qui montre que a est un minimum global
puisqu’on vient de montrer que pour tout b ∈ R
3 , f (b) ≥ 0.
Exercice 3.4
i). L’ensemble C est fermé comme image réciproque du singleton {1} par l’application
g : (R
+ )
n
→ R
x = (x 1 , . . . , x n ) →
n
i=1 a i x i ,
restriction à (R
+ )
n d’une forme linéaire sur R
n , qui est donc continue. De plus
C est borné : pour tout x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ C, pour tout i ∈ {1, . . . , n}, on a
0 ≤ a i x i ≤ 1 et donc 0 ≤ x i ≤ 1/a i puisque a i > 0 par hypothèse. Donc C
est un compact de R
n , et comme f est continue (comme fonction polynômiale),
elle atteint son maximum sur C : il existe a ∈ C tel que f (a) = max x∈C f (x).
De plus, les composantes de a sont strictement positives car si l’une était nulle
on aurait f (a) = 0. Or f prend des valeurs strictement positives (par exemple
f (1, . . . , 1) = 1), donc a ne pourrait pas être un maximum de f .
ii). D’après ce qui précède, les points a ∈ C tels que f (a) = sup x∈C f (x) sont dans
l’ouvert ]0, +∞[
n . Ce sont en outre des extrema de f sous la contrainte g(x) = 1.
Donc d’après le théorème des multiplicateurs de Lagrange, si a est l’un d’entre
eux, il existe l ∈ R tel que d f (a) = ldg(a). Or
d f (a) · h =
n
i=1
a i a
a i −1
i
h i
j =i
a
a j
j , dg(a) · h =
n
i=1
a i h i ,
donc pour tout i ∈ {1, . . . , n},
a i a
a i −1
i
j =i
a
a j
j = la i ,
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