94
3 • Extrema
ou encore
a i =
1
l
n
j=1
a
a j
j .
Donc a = (j, . . . , j) et l = j
n−1 . Puisque
i a i = 1, a = (j, . . . , j) ∈ C
si et seulement si j = 1. Donc le seul point de C où f peut atteindre son
maximum est a = (1, . . . , 1). Comme on sait que ce point existe, on en déduit
que f (1, . . . , 1) = sup x∈C f (x). Enfin, comme f (1, . . . , 1) = 1, on a donc
f (x) = x
a 1
1 · · · x
a n
n ≤ 1 pour tout x ∈ C.
iii). Soit x ∈ (R
+ )
n . Si x = (0, . . . , 0) alors on a x
a 1
1 · · · x
a n
n =
i a i x i = 0. Si
x
= (0, . . . , 0), on a nécessairement s :=
n
i=1 a i x i = 0. Soit alors
x := x/s.
On a
x ∈ C et donc
x
a 1
1 · · ·
x
a n
n ≤ 1, d’où
x
a 1
1 · · · x
a n
n ≤ s
a 1 +···+a n = s .
On a égalité si x = (0, . . . , 0) ou bien f ( x) = 1, et donc
x = (1, . . . , 1), ce qui
équivaut à x = (j, . . . , j) pour un j ∈ R
+∗ . Les points où il y a égalité sont donc
tous les points de la forme x = (j, . . . , j) avec j ∈ R
+ .
iv). Un parallélépipède rectangle de côtés x, y, et z a pour volume V = x yz et pour
surface S = 2x y + 2yz + 2zx. D’après ce qui précède appliqué à a 1 = a 2 =
a 3 = 1/3 et x 1 = x y, x 2 = yz, x 3 = zx, on a
V
2/3 = (x y)
1/3 (yz)
1/3 (zx)
1/3
≤
1
3
(x y) +
1
3
(yz) +
1
3
(zx) =
S
6
,
avec égalité si et seulement si x y = yz = zx. Pour x yz = 0 cela équivaut à
x = y = z : à volume donné V , le parallélépipède rectangle de surface minimale
est le cube de côté x =
3
√
V .
Exercice 3.5
i). L’application f est de classe C
∞ , car c’est une fonction rationnelle dont le
dénominateur ne s’annule pas dans U .
ii). Pour tout x ∈ U et pour tout h ∈ R
n on a
d f (x) · h =
n
j=1
⎛
⎝
k = j
x k − a
n+1 1
x 2
j
⎞
⎠ h j .
iii). Si a = (a 1 , . . . , a n ) ∈ U est tel que d f a = 0 alors pour tout j ∈ {1, . . . , n},
k = j
a k = a
n+1 1
a 2
j
, c’est-à-dire a j
n
k=1
a k = a
n+1 .
3 • Extrema
ou encore
a i =
1
l
n
j=1
a
a j
j .
Donc a = (j, . . . , j) et l = j
n−1 . Puisque
i a i = 1, a = (j, . . . , j) ∈ C
si et seulement si j = 1. Donc le seul point de C où f peut atteindre son
maximum est a = (1, . . . , 1). Comme on sait que ce point existe, on en déduit
que f (1, . . . , 1) = sup x∈C f (x). Enfin, comme f (1, . . . , 1) = 1, on a donc
f (x) = x
a 1
1 · · · x
a n
n ≤ 1 pour tout x ∈ C.
iii). Soit x ∈ (R
+ )
n . Si x = (0, . . . , 0) alors on a x
a 1
1 · · · x
a n
n =
i a i x i = 0. Si
x
= (0, . . . , 0), on a nécessairement s :=
n
i=1 a i x i = 0. Soit alors
x := x/s.
On a
x ∈ C et donc
x
a 1
1 · · ·
x
a n
n ≤ 1, d’où
x
a 1
1 · · · x
a n
n ≤ s
a 1 +···+a n = s .
On a égalité si x = (0, . . . , 0) ou bien f ( x) = 1, et donc
x = (1, . . . , 1), ce qui
équivaut à x = (j, . . . , j) pour un j ∈ R
+∗ . Les points où il y a égalité sont donc
tous les points de la forme x = (j, . . . , j) avec j ∈ R
+ .
iv). Un parallélépipède rectangle de côtés x, y, et z a pour volume V = x yz et pour
surface S = 2x y + 2yz + 2zx. D’après ce qui précède appliqué à a 1 = a 2 =
a 3 = 1/3 et x 1 = x y, x 2 = yz, x 3 = zx, on a
V
2/3 = (x y)
1/3 (yz)
1/3 (zx)
1/3
≤
1
3
(x y) +
1
3
(yz) +
1
3
(zx) =
S
6
,
avec égalité si et seulement si x y = yz = zx. Pour x yz = 0 cela équivaut à
x = y = z : à volume donné V , le parallélépipède rectangle de surface minimale
est le cube de côté x =
3
√
V .
Exercice 3.5
i). L’application f est de classe C
∞ , car c’est une fonction rationnelle dont le
dénominateur ne s’annule pas dans U .
ii). Pour tout x ∈ U et pour tout h ∈ R
n on a
d f (x) · h =
n
j=1
⎛
⎝
k = j
x k − a
n+1 1
x 2
j
⎞
⎠ h j .
iii). Si a = (a 1 , . . . , a n ) ∈ U est tel que d f a = 0 alors pour tout j ∈ {1, . . . , n},
k = j
a k = a
n+1 1
a 2
j
, c’est-à-dire a j
n
k=1
a k = a
n+1 .