Solution des exercices
95
Par conséquent les a j sont tous égaux à a ; autrement dit a = (a, . . . , a).
Inversement, ce point est évidemment un point critique.
iv). Pour tout x ∈ U et pour tous h, h
∈ R
n on a
d
2 f (x) · (h, h
) =
n
j=1
k = j
m = j,k
x m h j h
k + 2
n
j=1
a
n+1
x
3
j
h j h
j .
v). En particulier on a,
d
2 f a (h, h) = a
n−2
n
j=1
k = j
h j h k + 2 a
n−2
n
j=1
h
2
j ,
soit encore
a
2−n d
2 f a (h, h) =
n
j=1
h
2
j +
n
j=1
h j
2 ≥
n
j=1
h
2
j = h
2
si · · désigne la norme euclidienne dans R
n . Donc (puisque a > 0), d’après un
théorème du cours, a est un minimum local strict pour f .
vi). Dans le cas n = 1, la fonction f : x → x + a
2 /x atteint son minimum sur R
+∗
(2a) au point a = a (d’après l’identité remarquable x
2 + a
2
− 2 a x = (x −a)
2 ).
Exercice 3.6
i). La jacobienne de l’application (q, ˙
q) → (q, ∇ ˙
q L(q, ˙
q)) est triangulaire, ses
blocs diagonaux étant I n et
∂
2 L
∂ ˙
q i ∂ ˙
q j
i, j
, matrice inversible par hypothèse. Donc
cette jacobienne est inversible, et l’application est un difféomorphisme local
d’après le théorème d’inversion locale.
ii). Par définition de H ,
∂ H
∂q j
(q, p) =
n
k=1
p k
∂r k
∂q j
−
∂ L
∂q j
(q, r (q, p)) −
n
k=1
∂ L
∂ ˙
q k
(q, r (q, p))
∂r k
∂q j
,
et les termes des sommes s’annulent deux à deux puisque par définition de r ,
p k =
∂ L
∂ ˙
q k
(q, r (q, p)) .
Pour la même raison,
∂ H
∂ p j
(q, p) = r j (q, p) +
n
k=1
p k
∂r k
∂ p j
−
n
k=1
∂ L
∂ ˙
q k
(q, r (q, p))
∂r k
∂ p j
= r j (q, p) .
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