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3 • Extrema
iii). Par définition, une solution u de l’équation d’Euler–Lagrange pour L est telle
que
d
dt
∂ L
∂ ˙
q j
(u(t), u
(t))
=
∂ L
∂q j
(u(t), u
(t))
quel que soit t dans un intervalle J , pour tout j ∈ {1, . . . , n}. Autrement dit, en
notant p j (t) :=
∂ L
∂ ˙
q j
(u(t), u
(t)),
p
j (t) =
∂ L
∂q j
(u(t), u
(t)) = −
∂ H
∂q j
(u(t), p(t)) ,
et par construction,
u
j (t) = r j (u(t), p(t)) =
∂ H
∂ p j
(u(t), p(t)) .
Donc l’application t ∈ J → (u(t), p(t)) est solution du système
dq j
dt
=
∂ H
∂ p j
(q, p) ,
d p j
dt
= −
∂ H
∂q j
(q, p) .
Inversement, si t ∈ J → (u(t), p(t)) est solution de ce système, alors pour tout
t ∈ J , u
j (t) = r j (u(t), p(t)) et l’application t ∈ J → u(t) est solution de
l’équation d’Euler–Lagrange associée à L.
iv). Pour
L(q, ˙
q) =
1
2
˙
q
2
− U (q) ,
p j =
∂ L
∂q j
(q, ˙
q) = ˙
q j ,
d’où
H (q, p) =
j
p
2
j −
1
2
j
p
2
j + U (q) =
1
2
p
2 + U (q) ,
et le système hamiltonien est
q
j = p j , p
j = − ∂ j U (q) .
(Cela n’est rien d’autre que l’expression de l’équation d’Euler–Lagrange
q
j = − ∂ j U (q)
dans l’espace des phases.)