Solution des exercices
97
Exercice 3.7 On fixe (x 0 , t 0 ) ∈ R × [0, T ]. (L’indice 0 a pour seul rôle d’éviter les
confusions dans les opérations de dérivation qui suivent.) On commence par remarquer
que
inf
y∈R
v 0 (y) + t 0 f
∗
x 0 − y
t 0
=
inf
y∈x 0 −t 0 f (R)
v 0 (y) + t 0 f
∗
x 0 − y
t 0
,
car pour q /
∈ f
(R), f
∗ (q) = +∞. On montre ensuite que pour tout y ∈ x 0 − t 0 f
(R)
il existe u ∈ R tel que
v(x 0 , t 0 ) ≤ v 0 (y) + (x 0 − y) u − t 0 f (u) .
En effet, soit u tel que x 0 − y = t 0 f
(u). Alors l’application
s → v 0 (y) + s f
(u) u − s f (u) − v(y + s f
(u), s)
vaut 0 en s = 0, v 0 (y) − v(x 0 , t 0 ) en s = t 0 , et elle est croissante : en effet, sa
dérivée s’écrit (grâce à (3.2)) f (w) − f (u) − f
(u) (w − u), où l’on a noté w =
∂ x v(y + f
(u) s, s) pour simplifier ; or f (w) − f (u) − f
(u) (w − u) ≥ 0 par
convexité de f . Enfin, on montre qu’il existe y ∈ R tel que pour tout u ∈ R,
v(x 0 , t 0 ) ≥ v 0 (y) + (x 0 − y) u − t 0 f (u) .
C’est la partie la plus délicate. Considérons l’équation différentielle
dx
ds
= f
(∂ x v(x(s), s)) .
(3.3)
Puisque f
est globalement Lipschitzienne et ∂
2
xx v est bornée, l’application u →
f
(∂ x v(u, s)) est globalement Lipschitzienne sur R, uniformément par rapport à
s ∈ [0, T ]. Donc les solutions maximales de (3.3) sont définies sur un intervalle
contenant [0, T ]. De plus, si x est solution de (3.3) (toujours avec v solution de (3.2)),
l’application s → ∂ x v(x(s), s) est constante. (Dériver et utiliser (3.2).) Par suite, les
trajectoires de (3.3), appelées courbes caractéristiques de (3.2), sont en fait des segments de droite. Or, par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe y ∈ R tel que
x 0 = y + t 0 f
(v
0 (y)). Donc ∂ x v(x 0 , t 0 ) = v
0 (y), puisque s → ∂ x v est constante le
long de la caractéristique issue de (y, 0), qui passe par (x 0 , t 0 ) par construction. On
conclut grâce à un nouvel argument de monotonie : quel que soit u ∈ R, l’application
s → v 0 (y) + s f
(v
0 (y)) u − s f (u) − v(y + s f
(v
0 (y)), s)
est décroissante, puisque sa dérivée est f (w) − f (u) − f
(w) ( w − u ), avec w =
∂ x v(y + s f
(v
0 (y)), s) = v
0 (y).
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
97
Exercice 3.7 On fixe (x 0 , t 0 ) ∈ R × [0, T ]. (L’indice 0 a pour seul rôle d’éviter les
confusions dans les opérations de dérivation qui suivent.) On commence par remarquer
que
inf
y∈R
v 0 (y) + t 0 f
∗
x 0 − y
t 0
=
inf
y∈x 0 −t 0 f (R)
v 0 (y) + t 0 f
∗
x 0 − y
t 0
,
car pour q /
∈ f
(R), f
∗ (q) = +∞. On montre ensuite que pour tout y ∈ x 0 − t 0 f
(R)
il existe u ∈ R tel que
v(x 0 , t 0 ) ≤ v 0 (y) + (x 0 − y) u − t 0 f (u) .
En effet, soit u tel que x 0 − y = t 0 f
(u). Alors l’application
s → v 0 (y) + s f
(u) u − s f (u) − v(y + s f
(u), s)
vaut 0 en s = 0, v 0 (y) − v(x 0 , t 0 ) en s = t 0 , et elle est croissante : en effet, sa
dérivée s’écrit (grâce à (3.2)) f (w) − f (u) − f
(u) (w − u), où l’on a noté w =
∂ x v(y + f
(u) s, s) pour simplifier ; or f (w) − f (u) − f
(u) (w − u) ≥ 0 par
convexité de f . Enfin, on montre qu’il existe y ∈ R tel que pour tout u ∈ R,
v(x 0 , t 0 ) ≥ v 0 (y) + (x 0 − y) u − t 0 f (u) .
C’est la partie la plus délicate. Considérons l’équation différentielle
dx
ds
= f
(∂ x v(x(s), s)) .
(3.3)
Puisque f
est globalement Lipschitzienne et ∂
2
xx v est bornée, l’application u →
f
(∂ x v(u, s)) est globalement Lipschitzienne sur R, uniformément par rapport à
s ∈ [0, T ]. Donc les solutions maximales de (3.3) sont définies sur un intervalle
contenant [0, T ]. De plus, si x est solution de (3.3) (toujours avec v solution de (3.2)),
l’application s → ∂ x v(x(s), s) est constante. (Dériver et utiliser (3.2).) Par suite, les
trajectoires de (3.3), appelées courbes caractéristiques de (3.2), sont en fait des segments de droite. Or, par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe y ∈ R tel que
x 0 = y + t 0 f
(v
0 (y)). Donc ∂ x v(x 0 , t 0 ) = v
0 (y), puisque s → ∂ x v est constante le
long de la caractéristique issue de (y, 0), qui passe par (x 0 , t 0 ) par construction. On
conclut grâce à un nouvel argument de monotonie : quel que soit u ∈ R, l’application
s → v 0 (y) + s f
(v
0 (y)) u − s f (u) − v(y + s f
(v
0 (y)), s)
est décroissante, puisque sa dérivée est f (w) − f (u) − f
(w) ( w − u ), avec w =
∂ x v(y + s f
(v
0 (y)), s) = v
0 (y).
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit