98
3 • Extrema
Exercice 3.8
i). Par définition de G,
dG(q) · h = h , g(q) + q , d f (f(q)) · df(q) · h − dF(f(q)) · df(q) · h ,
et
dF(f(q))·df(q)·h = dE(f(q))·d f (f(q))·f(q)·h = q , d f (f(q))·df(q)·h .
ii). Par suite, f = dG ◦ f
−1 donc d f (u) · k = d
2 G(f
−1 (u)) · df
−1 (u) · k, et
f
−1 (u) = dE(u). Donc finalement,
d
2 E(u) d f (u) = d
2 E(u) d
2 G(f
−1 (u)) d
2 E(u) .
Cela montre que HessE(u)A(u) = HessE(u) HessG(f
−1 (u)) HessE(u).
D’après le théorème de Schwarz (p. 51), les deux hessiennes sont symétriques,
donc HessE(u)A(u) est symétrique.