Chapitre 4
Formes différentielles
L’objectif de ce chapitre, dont la lecture nécessite peu de pré-requis, est assez modeste :
il vise à introduire les notions de base sur les formes différentielles sur (des ouverts
de) R
n et à donner les principaux résultats utiles en mathématiques appliquées. Ceuxci comprennent notamment des théorèmes d’intégrabilité (Poincaré, Frobenius), qui
seront démontrés dans leur forme la plus simple. La formule de Stokes sera quant à
elle mentionnée sans démonstration, et l’on insistera surtout sur les cas particuliers
souvent utilisés dans les applications (Green–Riemann, Green–Ostrogradsky, etc.).
Pour un traitement approfondi des formes différentielles, on pourra se reporter par
exemple aux livres de Cartan [3], Godbillon [15] (des classiques, avec beaucoup plus
de variétés dans le second que dans le premier) ou Darling [9] (une référence très
accessible sur les fondements de la géométrie différentielle moderne).
4.1 CHAMPS DE VECTEURS ET 1-FORMES DIFFÉRENTIELLES
Définition 4.1 Un champ de vecteurs (de classe C
k ) sur (un ouvert) de R
n est une
application (de classe C
k ) à valeurs dans l’espace vectoriel R
n . Une 1-forme différentielle (de classe C
k ) sur (un ouvert) de R
n est une application (de classe C
k ) à
valeurs dans l’espace vectoriel L(R
n ; R) des formes linéaires sur R
n . Les 1-formes
différentielles sont aussi appelées formes de Pfaff.
On se gardera bien en général d’identifier les espaces vectoriels R
n et L(R
n ; R)
(ce qui nécessiterait de choisir un produit scalaire). La représentation matricielle des
vecteurs du premier se fait naturellement au moyen de matrices (ou vecteurs) colonnes
et celle du second par des matrices lignes. Une autre représentation consiste à utiliser
des notations particulières pour les bases « canoniques » de R
n et de L(R
n ; R). En
Formes différentielles
L’objectif de ce chapitre, dont la lecture nécessite peu de pré-requis, est assez modeste :
il vise à introduire les notions de base sur les formes différentielles sur (des ouverts
de) R
n et à donner les principaux résultats utiles en mathématiques appliquées. Ceuxci comprennent notamment des théorèmes d’intégrabilité (Poincaré, Frobenius), qui
seront démontrés dans leur forme la plus simple. La formule de Stokes sera quant à
elle mentionnée sans démonstration, et l’on insistera surtout sur les cas particuliers
souvent utilisés dans les applications (Green–Riemann, Green–Ostrogradsky, etc.).
Pour un traitement approfondi des formes différentielles, on pourra se reporter par
exemple aux livres de Cartan [3], Godbillon [15] (des classiques, avec beaucoup plus
de variétés dans le second que dans le premier) ou Darling [9] (une référence très
accessible sur les fondements de la géométrie différentielle moderne).
4.1 CHAMPS DE VECTEURS ET 1-FORMES DIFFÉRENTIELLES
Définition 4.1 Un champ de vecteurs (de classe C
k ) sur (un ouvert) de R
n est une
application (de classe C
k ) à valeurs dans l’espace vectoriel R
n . Une 1-forme différentielle (de classe C
k ) sur (un ouvert) de R
n est une application (de classe C
k ) à
valeurs dans l’espace vectoriel L(R
n ; R) des formes linéaires sur R
n . Les 1-formes
différentielles sont aussi appelées formes de Pfaff.
On se gardera bien en général d’identifier les espaces vectoriels R
n et L(R
n ; R)
(ce qui nécessiterait de choisir un produit scalaire). La représentation matricielle des
vecteurs du premier se fait naturellement au moyen de matrices (ou vecteurs) colonnes
et celle du second par des matrices lignes. Une autre représentation consiste à utiliser
des notations particulières pour les bases « canoniques » de R
n et de L(R
n ; R). En