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4 • Formes différentielles
calcul différentiel, il est en effet d’usage de noter
∂
∂x 1
, . . . ,
∂
∂x n
les vecteurs de la base « canonique » de R
n . C’est une notation bizarre au premier
abord, qui se justifiera par la suite. Par définition, tout vecteur x de composantes
x 1 , . . . , x n s’écrit ainsi
x =
n
j=1
x j
∂
∂x j
.
Par extension, un champ de vecteurs X de composantes X 1 , . . . , X n s’écrit
X =
n
j=1
X j
∂
∂x j
,
ce qui signifie que pour tout x ∈ U (l’ouvert de définition de X ),
X (x) =
n
j=1
X j (x)
∂
∂x j
.
Cette notation permet d’identifier X à un opérateur différentiel (ceci sera utilisé
notamment dans l’exercice 7.10) : si f est une fonction différentiable sur U , la fonction
X f :=
n
j=1
X j
∂ f
∂x j
n’est autre que la dérivée de f dans la direction X , c’est-à-dire que (X f )(x) =
d f (x) · X (x) pour tout x ∈ U . Mais pour éviter les confusions on évitera ici de faire
cette identification.
Quant à L(R
n ; R), on note (dx 1 , . . . , dx n ) sa base « canonique », duale de
∂
∂x 1
, . . . ,
∂
∂x n
, c’est-à-dire telle que
dx i
∂
∂x j
= d i, j :=
0 si i = j ,
1 si i = j .
Ainsi, toute 1-forme différentielle v se décompose en
v =
n
i=1
v i dx i ,