4.2 Formes différentielles d’ordre supérieur
101
où les v i sont des applications à valeurs réelles. Inversement, si v i ∈ C
k (U ; R)
pour i ∈ {1, . . . , n}, l’application v : x →
n
i=1 v i (x)dx i définit une 1-forme
différentielle : pour tout x ∈ U , la forme linéaire v(x) est définie par
v(x) · h =
n
i=1
v i (x)h i ,
pour tout vecteur h ∈ R
n de composantes h 1 , . . . , h n .
Par exemple, si f est une fonction de classe C
r (avec r ≥ 1) sur U et à valeurs dans
R, sa différentielle
d f =
n
i=1
∂ f
∂x i
dx i : U → L(R
n ; R)
x →
h →
n
i=1
∂ f
∂x i
(x)h i
est une 1-forme différentielle de classe C
r−1 . On dit en outre qu’elle est exacte.
Définition 4.2 Une 1-forme différentielle v est exacte s’il existe une fonction différentiable f telle que v = d f .
On verra plus loin un résultat fondamental (le théorème de Poincaré) donnant une
caractérisation des formes différentielles exactes sur des ouverts d’un type particulier
(à savoir, simplement connexes).
4.2 FORMES DIFFÉRENTIELLES D’ORDRE SUPÉRIEUR
4.2.1 Introduction
Comme le lecteur a pu le pressentir, si nous avons défini des 1-formes, nous pouvons
aussi définir des q-formes, avec q un entier plus grand que 1. Cela passe par l’étude
des formes q-linéaires alternées. Nous noterons A q (R
n ) le sous-espace vectoriel de
L q (R
n ) des formes q-linéaires alternées, c’est-à-dire les f ∈ L q (R
n ; R) telles que,
pour tout q-uplet (u 1 , . . . , u q ) de vecteurs de R
n dans lequel deux vecteurs (au moins)
coïncident, f(u 1 , . . . , u q ) = 0. On se convainc aisément (en jouant avec la multilinéarité de f) que cette propriété équivaut à l’antisymétrie de f, c’est-à-dire
f(u 1 , . . . , u i , . . . , u j , . . . , u q ) = −f(u 1 , . . . , u j , . . . , u i , . . . , u q )
pour tout q-uplet (u 1 , . . . , u q ) de vecteurs de R
n et pour tout couple (i, j) d’entiers
entre 1 et q.
Proposition 4.3 Soit q un entier supérieur ou égal à 2. L’espace A q (R
n ) est réduit
à {0} si q > n. Si q ≤ n, A q (R
n ) est de dimension
n
q
et engendré par les q-formes
linéaires du type
dx i 1 ∧ · · · ∧ dx i q
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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où les v i sont des applications à valeurs réelles. Inversement, si v i ∈ C
k (U ; R)
pour i ∈ {1, . . . , n}, l’application v : x →
n
i=1 v i (x)dx i définit une 1-forme
différentielle : pour tout x ∈ U , la forme linéaire v(x) est définie par
v(x) · h =
n
i=1
v i (x)h i ,
pour tout vecteur h ∈ R
n de composantes h 1 , . . . , h n .
Par exemple, si f est une fonction de classe C
r (avec r ≥ 1) sur U et à valeurs dans
R, sa différentielle
d f =
n
i=1
∂ f
∂x i
dx i : U → L(R
n ; R)
x →
h →
n
i=1
∂ f
∂x i
(x)h i
est une 1-forme différentielle de classe C
r−1 . On dit en outre qu’elle est exacte.
Définition 4.2 Une 1-forme différentielle v est exacte s’il existe une fonction différentiable f telle que v = d f .
On verra plus loin un résultat fondamental (le théorème de Poincaré) donnant une
caractérisation des formes différentielles exactes sur des ouverts d’un type particulier
(à savoir, simplement connexes).
4.2 FORMES DIFFÉRENTIELLES D’ORDRE SUPÉRIEUR
4.2.1 Introduction
Comme le lecteur a pu le pressentir, si nous avons défini des 1-formes, nous pouvons
aussi définir des q-formes, avec q un entier plus grand que 1. Cela passe par l’étude
des formes q-linéaires alternées. Nous noterons A q (R
n ) le sous-espace vectoriel de
L q (R
n ) des formes q-linéaires alternées, c’est-à-dire les f ∈ L q (R
n ; R) telles que,
pour tout q-uplet (u 1 , . . . , u q ) de vecteurs de R
n dans lequel deux vecteurs (au moins)
coïncident, f(u 1 , . . . , u q ) = 0. On se convainc aisément (en jouant avec la multilinéarité de f) que cette propriété équivaut à l’antisymétrie de f, c’est-à-dire
f(u 1 , . . . , u i , . . . , u j , . . . , u q ) = −f(u 1 , . . . , u j , . . . , u i , . . . , u q )
pour tout q-uplet (u 1 , . . . , u q ) de vecteurs de R
n et pour tout couple (i, j) d’entiers
entre 1 et q.
Proposition 4.3 Soit q un entier supérieur ou égal à 2. L’espace A q (R
n ) est réduit
à {0} si q > n. Si q ≤ n, A q (R
n ) est de dimension
n
q
et engendré par les q-formes
linéaires du type
dx i 1 ∧ · · · ∧ dx i q
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit