102
4 • Formes différentielles
avec i 1 < · · · < i q , où le produit extérieur dx i 1 ∧ · · · ∧ dx i q désigne la q-forme linéaire
alternée définie par
(dx i 1 ∧ · · · ∧ dx i q )
∂
∂x j 1
, . . . ,
∂
∂x j q
=
0 si {i 1 , . . . , i q } } = { j 1 , . . . , j q } ,
1 si i k = j k ∀k .
La démonstration est laissée au lecteur. Attention, dans la définition du produit
extérieur, {i 1 , . . . , i q } désigne un ensemble non ordonné : il y a donc des cas qui
ne pas écrits, ce sont tous ceux pour lesquels le q-uplet ( j 1 , . . . , j q ) est obtenu par
permutation de (i 1 , . . . , i q ) ; ils se déduisent du cas (i 1 , . . . , i q ) = ( j 1 , . . . , j q ) en
utilisant que la forme doit être alternée. Si s est une permutation de signature ´ de
{1, . . . , q},
(dx i 1 ∧ · · · ∧ dx i q )
∂
∂x i s(1)
, . . . ,
∂
∂x i s(q)
= (−1)
´ .
Remarque : La n-forme linéaire dx 1 ∧ · · · ∧ dx n coïncide avec le déterminant
dans la base
∂
∂x 1
, . . . ,
∂
∂x n
. En effet, ce sont deux n-formes linéaires alternées
sur R
n qui coïncident en
∂
∂x 1
, . . . ,
∂
∂x n
, et A n (R
n ) est de dimension 1.
Définition 4.4 Soit q un entier supérieur ou égal à 2. Une q-forme différentielle
(de classe C
k ) sur (un ouvert) de R
n est une application (de classe C
k ) à valeurs
dans l’espace vectoriel A q (R
n ) des q-formes linéaires alternées sur R
n . Les q-formes
différentielles sont également appelées formes différentielles de degré q.
D’après la proposition 4.3, toute q-forme différentielle a se décompose en
a =
1≤i 1 <··· a i 1 ,...,i q dx i 1 ∧ · · · ∧ dx i q ,
où les a i 1 ,...,i q sont des applications à valeurs réelles. Inversement, si
a i 1 ,...,i q ∈ C
k (U ; R) pour 1 ≤ i 1 < · · · < i q ≤ n, l’application x →
1≤i 1 <··· Dans un souci de cohérence avec la définition 4.1 des 1-formes, A 1 (R
n ) désignera
aussi l’espace des formes linéaires L(R
n ; R), et par convention, A 0 (R
n ) désignera
l’espace des fonctions constantes de R
n dans R. Ainsi la définition 4.4 des q-formes
est valable en fait pour tout entier naturel q. Une 0-forme différentielle n’est rien
d’autre qu’une fonction à valeurs réelles.
4.2.2 Produit extérieur
On peut bien entendu définir dx i 1 ∧ · · · ∧ dx i q lorsque les entiers i 1 , . . . , i q ne sont pas
en ordre croissant, de telle sorte que l’application
L(R
n ; R)
q
→ A q (R
n )
( 1 , . . . , , q ) → 1 ∧ · · · ∧ q
4 • Formes différentielles
avec i 1 < · · · < i q , où le produit extérieur dx i 1 ∧ · · · ∧ dx i q désigne la q-forme linéaire
alternée définie par
(dx i 1 ∧ · · · ∧ dx i q )
∂
∂x j 1
, . . . ,
∂
∂x j q
=
0 si {i 1 , . . . , i q } } = { j 1 , . . . , j q } ,
1 si i k = j k ∀k .
La démonstration est laissée au lecteur. Attention, dans la définition du produit
extérieur, {i 1 , . . . , i q } désigne un ensemble non ordonné : il y a donc des cas qui
ne pas écrits, ce sont tous ceux pour lesquels le q-uplet ( j 1 , . . . , j q ) est obtenu par
permutation de (i 1 , . . . , i q ) ; ils se déduisent du cas (i 1 , . . . , i q ) = ( j 1 , . . . , j q ) en
utilisant que la forme doit être alternée. Si s est une permutation de signature ´ de
{1, . . . , q},
(dx i 1 ∧ · · · ∧ dx i q )
∂
∂x i s(1)
, . . . ,
∂
∂x i s(q)
= (−1)
´ .
Remarque : La n-forme linéaire dx 1 ∧ · · · ∧ dx n coïncide avec le déterminant
dans la base
∂
∂x 1
, . . . ,
∂
∂x n
. En effet, ce sont deux n-formes linéaires alternées
sur R
n qui coïncident en
∂
∂x 1
, . . . ,
∂
∂x n
, et A n (R
n ) est de dimension 1.
Définition 4.4 Soit q un entier supérieur ou égal à 2. Une q-forme différentielle
(de classe C
k ) sur (un ouvert) de R
n est une application (de classe C
k ) à valeurs
dans l’espace vectoriel A q (R
n ) des q-formes linéaires alternées sur R
n . Les q-formes
différentielles sont également appelées formes différentielles de degré q.
D’après la proposition 4.3, toute q-forme différentielle a se décompose en
a =
1≤i 1 <··· a i 1 ,...,i q dx i 1 ∧ · · · ∧ dx i q ,
où les a i 1 ,...,i q sont des applications à valeurs réelles. Inversement, si
a i 1 ,...,i q ∈ C
k (U ; R) pour 1 ≤ i 1 < · · · < i q ≤ n, l’application x →
1≤i 1 <··· Dans un souci de cohérence avec la définition 4.1 des 1-formes, A 1 (R
n ) désignera
aussi l’espace des formes linéaires L(R
n ; R), et par convention, A 0 (R
n ) désignera
l’espace des fonctions constantes de R
n dans R. Ainsi la définition 4.4 des q-formes
est valable en fait pour tout entier naturel q. Une 0-forme différentielle n’est rien
d’autre qu’une fonction à valeurs réelles.
4.2.2 Produit extérieur
On peut bien entendu définir dx i 1 ∧ · · · ∧ dx i q lorsque les entiers i 1 , . . . , i q ne sont pas
en ordre croissant, de telle sorte que l’application
L(R
n ; R)
q
→ A q (R
n )
( 1 , . . . , , q ) → 1 ∧ · · · ∧ q