4.2 Formes différentielles d’ordre supérieur
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soit elle-même q-linéaire alternée. Cela permet de définir le produit extérieur de deux
formes de degrés quelconques q et r par
∧ : A q (R
n ) × A r (R
n ) → A q+r (R
n )
(a, b)
→ a ∧ b ;
a ∧ b :=
1 ≤ i 1 < · · · < iq ≤ n
1 ≤ j 1 < · · · < jr ≤ n
a i 1 ,...,i q b j 1 ,..., j r dx i 1 ∧ · · · ∧ dx i q ∧ dx j 1 ∧ · · · ∧ dx j r ,
si
a =
1≤i 1 <··· a i 1 ,...,i q dx i 1 ∧ · · · ∧ dx i q ,
b =
1≤ j 1 <···< j r ≤n
b j 1 ,..., j r dx j 1 ∧ · · · ∧ dx j r .
L’application ∧ est clairement bilinéaire. D’autre part, puisque A q+r (R
n ) est réduit à
{0} si q + r > n, ∧ est identiquement nul dans ce cas.
Proposition 4.5 Le produit extérieur ∧ est associatif, et l’on a, pour tout a ∈ A q (R
n )
et tout b ∈ A r (R
n ),
a ∧ b = (−1)
qr b ∧ a .
En particulier, si a ∈ A q (R
n ) avec q impair, a ∧ a = 0.
La démonstration de ce résultat purement algébrique est laissée au lecteur.
Le produit extérieur ∧ s’étend naturellement aux q-formes différentielles : si a est
de degré q et b de degré r , a ∧ b est de degré q + r , et l’on a
a ∧ b = (−1)
qr b ∧ a .
4.2.3 Tiré en arrière
Comme on l’a observé plus haut, les 0-formes différentielles ne sont rien d’autre que
des fonctions à valeurs réelles. Celles-ci se « transportent » aisément par changement
de variables. Plus précisément, si w : V → U est une fonction (pas nécessairement un
difféomorphisme) de classe C
k d’un ouvert V de R
n dans un ouvert U de R
n , à toute
« 0-forme différentielle » f : U → R de classe C
k on peut associer par composition
avec w une autre 0-forme différentielle f ◦ w : V → R de classe C
k . On introduit une
notation pour cette fonction composée où l’ordre de w et de f est inversé :
w
∗ f := f ◦ w : V → R
y → (w
∗ f )(y) := f (w(y)) .
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