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4 • Formes différentielles
En anglais la transformation w
∗ : f → w
∗ f est appelée de façon assez imagée le
pullback. La traduction française de ce terme, tiré en arrière (ou parfois aussi tirette),
n’est pas très heureuse et elle est ce fait moins utilisée.
Le pullback s’étend naturellement aux formes différentielles de degré quelconque.
L’idée est qu’une forme différentielle de degré q sur un ouvert U (resp. V ) agit sur
des q-uplets de « vecteurs tangents » à U (resp. V ), et que par la transformation w,
un vecteur v tangent à y ∈ V se transforme en le vecteur tangent à U s’écrivant
u = dw(y) · v. (Pour s’en convaincre en restant à un niveau de géométrie différentielle
élémentaire, on peut considérer une courbe paramétrée dans V , {Y (t) ; t ∈ I } passant
par y en t = 0 ayant Y
(0) = v comme vecteur tangent au point y. Alors son image par
w est la courbe paramétrée {X (t) := w(Y (t)) ; t ∈ I }, qui vérifie X
(0) = dw(y) · v.)
Définition 4.6 Soit q un entier naturel non nul. Soit w : V → U une fonction de
classe C
k+1 d’un ouvert V de R
n sur un ouvert U . Le pullback par w d’une q-forme
différentielle a de classe C
k sur U est b = w
∗ a la q-forme différentielle de classe
C
k sur V définie par b(y) · (v 1 , . . . , v q ) := a(x) · (u 1 , . . . , u q ), où x = w(y) et
u k = dw(y) · v k , k = 1, . . . , q.
➤ Exemples
• Pour une 1-forme a =
n
j=1 a j dx j ,
w
∗ a =
n
j=1
n
i=1
(a i ◦ w)
∂w i
∂ y j
dy j =
n
i=1
(a i ◦ w) dw i .
• Pour une n-forme, encore appelée forme volume a = f dx 1 ∧ · · · ∧ dx n ,
w
∗ a = ( f ◦ w) (dét dw) dy 1 ∧ · · · ∧ dy n .
• Pour n ≥ 3, une (n − 1)-forme, encore appelée forme surfacique
a =
n
i=1
f i dx 1 ∧ · · · Z Z
dx i · · · ∧ dx n ,
où dx i n’apparaît pas tandis que tous les dx j apparaissent dans l’ordre croissant
pour j = i,
w
∗ a =
n
i=1
n
j=1
( f i ◦ w) (cofact dw) i, j dy 1 ∧ · · · Z
Z
dy j · · · ∧ dy n .
Proposition 4.7 Pour une q-forme « pure » a = f dx i 1 ∧ · · · ∧ dx i q , on a
w
∗ a = ( f ◦ w) dw i 1 ∧ · · · ∧ dw i q .
(4.1)