4.2 Formes différentielles d’ordre supérieur
105
Pour toute q-forme a et toute r -forme b,
w
∗ (a ∧ b) = (w
∗ a) ∧ (w
∗ b) .
(4.2)
Démonstration. Admettons provisoirement (4.2). On a déjà observé (dans
le premier exemple donné ci-dessus) que pour une 1-forme a = f dx i ,
w
∗ a = ( f ◦ w) dw i . On procède ensuite par récurrence sur q. Supposons
(4.1) démontrée pour l’entier q, et soit
v = f dx i 1 ∧ · · · ∧ dx i q+1 = a ∧ dx i q+1 , a = f dx i 1 ∧ · · · ∧ dx i q .
D’après (4.2), l’hypothèse de récurrence et le cas q = 1 (avec f ≡ 1) on a
w
∗ v = (w
∗ a) ∧ (w
∗ dx i q+1 ) = ( f ◦ w) dw i 1 ∧ · · · ∧ dw i q ∧ dw i q+1 .
Par suite, si l’on a (4.2), on montre immédiatement (4.1) par récurrence sur
q (en utilisant l’associativité du produit extérieur).
Montrons maintenant (4.2). Par linéarité du pullback w
∗ et bilinéarité du
produit extérieur ∧, il suffit de démontrer cette formule pour des formes
pures. Commençons par le cas q = r = 1. Si a = f dx i et b = g dx j , on
a w
∗ a = ( f ◦ w) dw i et w
∗ b = (g ◦ w) dw j : si i = j les deux membres de
(4.2) sont donc nuls ; sinon, quitte à échanger les rôles de a et b, on peut
supposer i < j. On a
(w
∗ a) ∧ (w
∗ b) = ( f ◦ w)(g ◦ w) dw i ∧ dw j ,
tandis que a ∧ b = f g dx i ∧ dx j et donc par définition
w
∗ (a∧b)(y)·(v 1 , v 2 ) = f (w(y)) g(w(y)) (dx i ∧dx j )·(dw(y)·v 1 , dw(y)·v 2 )
= f (w(y)) g(w(y)) ((dw i (y) · v 1 )(dw j (y) · v 2 ) − (dw j (y) · v 1 )(dw i (y) · v 2 )) .
Et par définition du produit extérieur de deux 1-formes, on a précisément
(dw i ∧dw j )(y)·(v 1 , v 2 ) = (dw i (y)·v 1 )(dw j (y)·v 2 )−(dw j (y)·v 1 )(dw i (y)·v 2 ) .
Par souci de clarté traitons également le cas (q, r ) = (1, 2). Soient donc
a = f dx i et b = g dx j ∧ dx k . On a w
∗ a = ( f ◦ w) dw i et, d’après le cas
q = r = 1, w
∗ b = (g ◦ w) dw j ∧ dw k , d’où
(w
∗ a) ∧ (w
∗ b) = ( f ◦ w)(g ◦ w) dw i ∧ dw j ∧ dw k .
Par ailleurs, a ∧ b = f g dx i ∧ dx j ∧ dx k et donc par définition
w
∗ (a ∧ b)(y) · (v 1 , v 2 , v 3 ) =
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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Pour toute q-forme a et toute r -forme b,
w
∗ (a ∧ b) = (w
∗ a) ∧ (w
∗ b) .
(4.2)
Démonstration. Admettons provisoirement (4.2). On a déjà observé (dans
le premier exemple donné ci-dessus) que pour une 1-forme a = f dx i ,
w
∗ a = ( f ◦ w) dw i . On procède ensuite par récurrence sur q. Supposons
(4.1) démontrée pour l’entier q, et soit
v = f dx i 1 ∧ · · · ∧ dx i q+1 = a ∧ dx i q+1 , a = f dx i 1 ∧ · · · ∧ dx i q .
D’après (4.2), l’hypothèse de récurrence et le cas q = 1 (avec f ≡ 1) on a
w
∗ v = (w
∗ a) ∧ (w
∗ dx i q+1 ) = ( f ◦ w) dw i 1 ∧ · · · ∧ dw i q ∧ dw i q+1 .
Par suite, si l’on a (4.2), on montre immédiatement (4.1) par récurrence sur
q (en utilisant l’associativité du produit extérieur).
Montrons maintenant (4.2). Par linéarité du pullback w
∗ et bilinéarité du
produit extérieur ∧, il suffit de démontrer cette formule pour des formes
pures. Commençons par le cas q = r = 1. Si a = f dx i et b = g dx j , on
a w
∗ a = ( f ◦ w) dw i et w
∗ b = (g ◦ w) dw j : si i = j les deux membres de
(4.2) sont donc nuls ; sinon, quitte à échanger les rôles de a et b, on peut
supposer i < j. On a
(w
∗ a) ∧ (w
∗ b) = ( f ◦ w)(g ◦ w) dw i ∧ dw j ,
tandis que a ∧ b = f g dx i ∧ dx j et donc par définition
w
∗ (a∧b)(y)·(v 1 , v 2 ) = f (w(y)) g(w(y)) (dx i ∧dx j )·(dw(y)·v 1 , dw(y)·v 2 )
= f (w(y)) g(w(y)) ((dw i (y) · v 1 )(dw j (y) · v 2 ) − (dw j (y) · v 1 )(dw i (y) · v 2 )) .
Et par définition du produit extérieur de deux 1-formes, on a précisément
(dw i ∧dw j )(y)·(v 1 , v 2 ) = (dw i (y)·v 1 )(dw j (y)·v 2 )−(dw j (y)·v 1 )(dw i (y)·v 2 ) .
Par souci de clarté traitons également le cas (q, r ) = (1, 2). Soient donc
a = f dx i et b = g dx j ∧ dx k . On a w
∗ a = ( f ◦ w) dw i et, d’après le cas
q = r = 1, w
∗ b = (g ◦ w) dw j ∧ dw k , d’où
(w
∗ a) ∧ (w
∗ b) = ( f ◦ w)(g ◦ w) dw i ∧ dw j ∧ dw k .
Par ailleurs, a ∧ b = f g dx i ∧ dx j ∧ dx k et donc par définition
w
∗ (a ∧ b)(y) · (v 1 , v 2 , v 3 ) =
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