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4 • Formes différentielles
f (w(y)) g(w(y)) (dx i ∧ dx j ∧ dx k ) · (dw(y) · v 1 , dw(y) · v 2 , dw(y) · v 3 ) .
Or on vérifie en développant comme dans le cas précédent les produits
extérieurs que
(dx i ∧ dx j ∧ dx k ) · (dw(y) · v 1 , dw(y) · v 2 , dw(y) · v 3 ) =
(dw i ∧ dw j ∧ dw k )(y) · (v 1 , v 2 , v 3 ) .
(4.3)
Cela prouve (4.2) dans le cas (q, r ) = (1, 2) (et donc aussi (q, r ) = (2, 1) en
échangeant les rôles de a et b). De la même manière, on en déduit (4.2) pour
tout couple (1, r ) par récurrence sur r . Supposons en effet (4.2) démontrée
pour tout couple (1, r
) avec r
≤ r . Soient a = f dx i et une (r + 1)-forme
b = g dx j 0 ∧ · · · ∧ dx j r . On a w
∗ a = ( f ◦ w) dw i et, d’après l’hypothèse de
récurrence appliquée de façon répétée,
w
∗ b = (g ◦w) dw j 0 ∧w
∗ (dx j 1 ∧· · ·∧dx j r ) = (g ◦w) dw j 0 ∧dw j 1 ∧· · ·∧dw j r .
(Notons que cette formule n’est autre que (4.1).) Par suite,
(w
∗ a) ∧ (w
∗ b) = ( f ◦ w)(g ◦ w) dw i ∧ dw j 0 ∧ dw j 1 ∧ · · · ∧ dw j r .
Par ailleurs, a ∧ b = f g dx i ∧ dx j 0 ∧ · · · ∧ dx j r et donc par définition
w
∗ (a ∧ b)(y) · (v, w 0 , . . . , w r ) =
( f g)(w(y)) (dx i ∧ dx j 0 ∧ · · · ∧ dx j r ) · (dw(y) · v, dw(y) · w 0 , . . . , dw(y) · w r ) .
En observant que (4.3) se généralise à un nombre arbitraire de produits
extérieurs, on en déduit l’égalité voulue entre (w
∗ a) ∧ (w
∗ b) et w
∗ (a ∧ b).
Cela prouve (4.2) pour tout couple (1, r ), et tout couple (q, 1) en échangeant
les rôles de a et b. Pour conclure, on fixe r ≥ 1 et l’on effectue une
récurrence sur q. Supposons la formule (4.2) démontrée pour (q, r ) et soient
une (q + 1)-forme pure a et une r -forme pure b. On peut écrire a = a 0 ∧ a 1 ,
où a 0 est une 1-forme pure et a 1 une q-forme pure. D’après ce qui précède
w
∗ (a ∧ b) = (w
∗ a 0 ) ∧ w
∗ (a 1 ∧ b) ,
et l’hypothèse de récurrence implique
w
∗ (a 1 ∧ b) = (w
∗ a 1 ) ∧ (w
∗ b) .
Comme on a aussi
w
∗ (a 0 ∧ a 1 ) = (w
∗ a 0 ) ∧ (w
∗ a 1 ) ,
on en déduit l’égalité voulue grâce à l’associativité du produit extérieur.