4.2 Formes différentielles d’ordre supérieur
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4.2.4 Différentielle extérieure
Définition 4.8 Soit a =
1≤i 1 <··· q et de classe C
k . On lui associe la forme de degré q + 1 et de classe C
k−1 , appelée
différentielle extérieure de a, définie par
da :=
n
i=1
1≤i 1 <··· ∂a i 1 ,...,i q
∂x i
dx i ∧ dx i 1 ∧ · · · ∧ dx i q .
Par convention (néanmoins cohérente avec la définition ci-dessus), la différentielle
extérieure d’une 0-forme f coïncide avec sa différentielle au sens des fonctions (définie au chapitre 1) :
d f = d f =
n
i=1
∂ f
∂x i
dx i .
Attention cependant, il ne faut surtout pas confondre ses différentielles d’ordre supérieur d
p f avec les formes différentielles obtenues par applications successives de la
différentielle extérieure. En fait, il n’y a guère de risque de confusion car pour la
différentielle extérieure, dès la seconde itération on obtient toujours 0, d’après ce qui
suit.
Proposition 4.9 Quelle que soit la forme différentielle a de classe C
k avec k ≥ 2, on
a d(da) = 0.
Démonstration. Par définition de la différentielle extérieure et par multilinéarité du produit extérieur, si a =
1≤i 1 <··· on a
d(da) :=
1≤i 1 <··· ⎛
⎝
n
j=1
n
i=1
∂
2 a i 1 ,...,i q
∂x j ∂x i
dx j ∧ dx i
⎞
⎠ ∧ dx i 1 ∧ · · ·∧ dx i q .
Or, comme dx j ∧ dx i = −dx i ∧ dx j , on a d’après le théorème de Schwarz,
pour toute fonction f deux fois différentiable,
n
j=1
n
i=1
∂
2 f
∂x j ∂x i
dx j ∧ dx i = 0 .
Donnons maintenant une extension de la définition 4.2 :
Définition 4.10 Une forme différentielle a est dite exacte s’il existe une forme différentielle b telle que a = db. Une forme différentielle a est dite fermée si da = 0.
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