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4 • Formes différentielles
Remarque : Pour q ≥ 1 il faut prendre garde à ne pas confondre la différentielle extérieure d’une q−forme avec sa différentielle en tant qu’application de
U dans A q (R
n ). Prenons pour simplifier le cas q = 1. Si a =
n
j=1 a j dx j
alors par définition
da =
n
i, j=1
∂a j
∂x i
dx i ∧ dx j =
1≤i< j≤n
∂a j
∂x i
−
∂a j
∂x i
dx i ∧ dx j .
Autrement dit, pour (h, k) ∈ R
n ),
da(x) · (h, k) =
1≤i< j≤n
∂a j
∂x i
−
∂a j
∂x i
(h i k j − k i h j ) .
Si l’on calcule maintenant la différentielle da de a en tant que fonction a :
U → L(R
n ; R) on trouve
da(x) · h =
n
i, j=1
∂a j
∂x i
(x) h i dx j ,
ce qui signifie
(da(x) · h) · k =
n
i, j=1
∂a j
∂x i
(x) h i k j .
On voit ainsi que l’hypothèse da = 0 (a fermée) équivaut (« seulement » ) au
fait que l’application
(h, k) → (da(x) · h) · k
est symétrique.
4.3 THÉORÈME DE POINCARÉ
Un corollaire immédiat de la proposition 4.9 est que toute forme différentielle exacte
est fermée. La réciproque n’est pas vraie en général : cela dépend des propriétés
topologiques de l’ouvert U . C’est l’objet du résultat fondamental suivant.
Théorème 4.11 (Poincaré) Soit U un ouvert simplement connexe. Toute forme différentielle fermée sur U est exacte.
Avant d’aborder sa démonstration, précisons ce que signifie l’hypothèse sur U .
Définition 4.12 Un ouvert U de R
n est dit simplement connexe, ou encore 1-connexe
si, pour toute courbe fermée (ou lacet) simple (c’est-à-dire sans point double)
{u(t) ; t ∈ [0, 1]}