4.3 Théorème de Poincaré
109
avec u : [0, 1] → U continue, injective sur ]0, 1[ et telle u(0) = u(1), il existe un point
x 0 ∈ U et une application (appelée homotopie) Q : [0, 1] × [0, 1] → U continue telle
que Q(·, 0) ≡ x 0 et Q(·, 1) = u.
En particulier, tout ouvert étoilé, c’est-à-dire dans lequel il existe un point x 0 que
l’on peut relier à n’importe quel point de l’ouvert par un segment inclus dans cet
ouvert, est simplement connexe. Nous nous contenterons de donner la démonstration
du théorème de Poincaré dans ce cas, où il apparaît comme une conséquence du
résultat suivant.
Lemme 4.13 (variante de Poincaré) Soient V et U des ouverts de R
n , et w : V ×
[0, 1] → U de classe C
∞ . On note pour tout t ∈ [0, 1], w t l’application w(·, t) : V →
U . Si a est une forme différentielle fermée sur U , alors w
∗
1 a − w
∗
0 a est une forme
différentielle exacte.
En admettant provisoirement ce lemme, on peut l’appliquer, si U est un ouvert
étoilé en x 0 , à l’application w : (x, t) → x 0 + t(x − x 0 ), qui vérifie w 1 = id et w 0 ≡ x 0 ,
de sorte que w
∗
1 a − w
∗
0 a = a.
Pour la démonstration du lemme 4.13, nous aurons besoin de propriétés supplémentaires de la différentielle extérieure, en relation avec le pullback d’une part et le
produit extérieur d’autre part.
Proposition 4.14 Soit w : V → U une fonction de classe C
k (avec k ≥ 1) d’un ouvert
V de R
n sur un ouvert U . Soient a et b des formes différentielles de classe C
k sur U .
Alors
w
∗ (da) = d(w
∗ a) ,
(4.4)
d(a ∧ b) = da ∧ b + (−1)
p a ∧ db ,
(4.5)
où p est le degré de a.
Démonstration. Commençons par montrer (4.5). Par linéarité de la différentiation extérieure d et bilinéarité du produit extérieur ∧, il suffit de vérifier
cette formule pour des formes pures
a = f dx i 1 ∧ · · · ∧ dx i p , b = g dx j 1 ∧ · · · ∧ dx j q .
Par définition de d on a
da =
n
k=1
∂ f
∂x k
dx k ∧ dx i 1 ∧ · · · ∧ dx i p ,
db =
n
k=1
∂g
∂x k
dx k ∧ dx j 1 ∧ · · · ∧ dx j q ,
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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avec u : [0, 1] → U continue, injective sur ]0, 1[ et telle u(0) = u(1), il existe un point
x 0 ∈ U et une application (appelée homotopie) Q : [0, 1] × [0, 1] → U continue telle
que Q(·, 0) ≡ x 0 et Q(·, 1) = u.
En particulier, tout ouvert étoilé, c’est-à-dire dans lequel il existe un point x 0 que
l’on peut relier à n’importe quel point de l’ouvert par un segment inclus dans cet
ouvert, est simplement connexe. Nous nous contenterons de donner la démonstration
du théorème de Poincaré dans ce cas, où il apparaît comme une conséquence du
résultat suivant.
Lemme 4.13 (variante de Poincaré) Soient V et U des ouverts de R
n , et w : V ×
[0, 1] → U de classe C
∞ . On note pour tout t ∈ [0, 1], w t l’application w(·, t) : V →
U . Si a est une forme différentielle fermée sur U , alors w
∗
1 a − w
∗
0 a est une forme
différentielle exacte.
En admettant provisoirement ce lemme, on peut l’appliquer, si U est un ouvert
étoilé en x 0 , à l’application w : (x, t) → x 0 + t(x − x 0 ), qui vérifie w 1 = id et w 0 ≡ x 0 ,
de sorte que w
∗
1 a − w
∗
0 a = a.
Pour la démonstration du lemme 4.13, nous aurons besoin de propriétés supplémentaires de la différentielle extérieure, en relation avec le pullback d’une part et le
produit extérieur d’autre part.
Proposition 4.14 Soit w : V → U une fonction de classe C
k (avec k ≥ 1) d’un ouvert
V de R
n sur un ouvert U . Soient a et b des formes différentielles de classe C
k sur U .
Alors
w
∗ (da) = d(w
∗ a) ,
(4.4)
d(a ∧ b) = da ∧ b + (−1)
p a ∧ db ,
(4.5)
où p est le degré de a.
Démonstration. Commençons par montrer (4.5). Par linéarité de la différentiation extérieure d et bilinéarité du produit extérieur ∧, il suffit de vérifier
cette formule pour des formes pures
a = f dx i 1 ∧ · · · ∧ dx i p , b = g dx j 1 ∧ · · · ∧ dx j q .
Par définition de d on a
da =
n
k=1
∂ f
∂x k
dx k ∧ dx i 1 ∧ · · · ∧ dx i p ,
db =
n
k=1
∂g
∂x k
dx k ∧ dx j 1 ∧ · · · ∧ dx j q ,
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit