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4 • Formes différentielles
d’où
da ∧ b =
n
k=1
g
∂ f
∂x k
dx k ∧ dx i 1 ∧ · · · ∧ dx i p ∧ dx j 1 ∧ · · · ∧ dx j q ,
a ∧ db =
n
k=1
f
∂g
∂x k
dx i 1 ∧ · · · ∧ dx i p ∧ dx k ∧ dx j 1 ∧ · · · ∧ dx j q
= (−1)
p
n
k=1
f
∂g
∂x k
dx k ∧ dx i 1 ∧ · · · ∧ dx i p ∧ dx j 1 ∧ · · · ∧ dx j q .
En additionnant on trouve (4.5) grâce à la formule de dérivation du produit :
∂( f g)
∂x k
= f
∂g
∂x k
+ g
∂ f
∂x k
,
puisque par définition de ∧ et d
d(a ∧ b) =
n
k=1
∂( f g)
∂x k
dx k ∧ dx i 1 ∧ · · · ∧ dx i p ∧ dx j 1 ∧ · · · ∧ dx j q .
Montrons maintenant (4.4). Il suffit à nouveau de la vérifier pour les formes
pures, par linéarité du pullback w
∗ et de la différentiation extérieure d. Le cas
d’une 0-forme est clair (c’est ce qui a motivé la définition du « pullback ») :
si f : U → R est une fonction régulière, w
∗ f = f ◦ w et
d(w
∗ f ) = d( f ◦ w) , w
∗ (d f ) = w
∗ (d f ) ,
d’où
w
∗ (d f )(y) · v = d f (w(y)) · dw(y) · v = d(w
∗ f )(y) · v
d’après la formule de dérivation des fonctions composées (théorème 1.5
page 15). Le cas des 1-formes découle de cette même formule. En effet,
pour a = f dx i on a
w
∗ a = ( f ◦ w) dw i , da =
n
k=1
∂ f
∂x k
dx k ∧ dx i ,
d(w
∗ a) = d( f ◦ w) ∧ dw i , w
∗ (da) =
n
k=1
(
∂ f
∂x k
◦ w) dw k ∧ dw i ,
où l’on a utilisé (4.5) et dd = 0 pour calculer d(w
∗ a), et (4.1) pour calculer
w
∗ (da). Ces deux quantités sont égales car
d( f ◦ w) =
n
k=1
(
∂ f
∂x k
◦ w) dw k