4.3 Théorème de Poincaré
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(formule de dérivation des fonctions composées). On peut alors montrer
(4.4) par récurrence sur le degré p de a. Supposons (4.4) démontrée pour
les p-formes pures. Soit a = a 0 ∧ a 1 une ( p + 1)-forme pure, avec a 0 une
1-forme pure et a 1 une p-forme pure. Alors d’après (4.5)
da = da 0 ∧ a 1 − a 0 ∧ da 1 ,
d’où
w
∗ (da) = w
∗ (da 0 ) ∧ w
∗ a 1 − (w
∗ a 0 ) ∧ w
∗ (da 1 )
d’après (4.2). Par suite, d’après le cas des 1-formes appliqué à a 0 et l’hypothèse de récurrence appliquée à a 1 ,
w
∗ (da) = d(w
∗ a 0 ) ∧ w
∗ a 1 − (w
∗ a 0 ) ∧ d(w
∗ a 1 ) =
d((w
∗ a 0 ) ∧ (w
∗ a 1 )) = d(w
∗ a)
en appliquant à nouveau (4.5) puis (4.2).
Démonstration du lemme 4.13. Afin d’éviter toute confusion, introduisons
la notation D (respectivement D) pour la différentiation extérieure (respectivement, la différentiation des fonctions) dans V × [0, 1] (ou un ouvert le
contenant), tandis que d est la différentiation extérieure dans V . La q-forme
différentielle v := w
∗ a peut se décomposer en
v = v t + dt ∧ b t ,
où pour tout t ∈ [0, 1], v t et b t sont des formes différentielles sur V (dans
lesquelles t joue le rôle de paramètre), v t étant de degré q et b t de degré
q − 1 si a est de degré q. De plus, on peut dériver leurs coefficients par
rapport à t, et l’on obtient encore une q-forme
∂v t
∂t et une (q − 1)-forme
∂b t
∂t .
Par définition de la différentielle extérieure on voit que
Dv t = dv t + dt ∧
∂v t
∂t
,
et d’autre part, d’après (4.5),
D(dt ∧ b t ) = −dt ∧ Db t = −dt ∧ db t .
Par conséquent,
Dv = dv t + dt ∧
∂v t
∂t
− db t
.
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