112
4 • Formes différentielles
Or, par hypothèse, a est fermée et donc, d’après (4.4), v aussi, ce qui signifie
Dv = 0. D’après l’expression de Dv cela implique
dv t = 0 et db t =
∂v t
∂t
.
Par ailleurs, tout q-uplet (v 1 , . . . , v q ) de vecteurs de R
n s’identifie à un quplet de vecteurs de R
n+1 en ajoutant 0 comme dernière composante, de
sorte qu’avec un léger abus de notations on a, pour tout (y, t) ∈ V × [0, 1]
v(y, t) · (v 1 , . . . , v q ) = v t (y) · (v 1 , . . . , v q ) + (dt ∧ b t ) · (v 1 , . . . , v q )
= v t (y) · (v 1 , . . . , v q ) ,
d’où
v t (y) · (v 1 , . . . , v q ) = a(w(y, t)) · (Dw(y, t) · v 1 , . . . , Dw(y, t) · v q ) =
a(w t (y))) · (dw t (y) · v 1 , . . . , dw t (y) · v q ) ,
ce qui signifie que v t = w
∗
t a. Ainsi nous avons montré que
∂(w
∗
t a)
∂t
= db t .
Pour conclure, on observe que b t est une somme de termes de la forme
g t dx i 1 ∧ · · · ∧ dx i q , et donc que db t est somme des termes correspondants
n
i=1
∂g t
∂x i
dx i ∧ dx i 1 ∧ · · · ∧ dx i q , dont on peut intégrer les coefficients entre
0 et 1. On obtient ainsi finalement
w
∗
1 a − w
∗
0 a = db ,
où la q-forme b est somme des termes
n
i=1
∂
∂x i
1
0
g t dt
dx i ∧ dx i 1 ∧
· · · ∧ dx i q
Remarque : Dans le cas q = 1, c’est-à-dire pour une 1-forme a fermée, on a
une formule « explicite » pour b. On vérifie en effet, en utilisant la remarque
p. 108 et une intégration par parties, que la différentielle (au sens des fonctions)
de
b : x →
1
0
a(t x) · x dt
coïncide avec a.