4.3 Théorème de Poincaré
113
➤ Interprétation pour les opérateurs différentiels classiques
Pour toute fonction f ∈ C
1 (U ; R) où U est un ouvert de R
n , les composantes de ∇ f
dans la base
∂
∂x 1
, . . . ,
∂
∂x n
sont les composantes de d f dans la base (dx 1 , . . . , dx n ).
Pour toute fonction a ∈ C
1 (U ; R
n ) de composantes a j dans la base
∂
∂x 1
, . . . ,
∂
∂x n
, la
forme différentielle
a :=
n
j=1
a j dx j
a pour différentielle extérieure
da =
1≤i< j≤n
∂a j
∂x i
−
∂a i
∂x j
dx i ∧ dx j .
Dans le cas n = 2 cette formule se résume à
da =
∂a 2
∂x 1
−
∂a 1
∂x 2
dx 1 ∧ dx 2 ,
et dans le cas n = 3 elle s’écrit encore, par définition du rotationnel
da = (rot a) 1 dx 2 ∧ dx 3 + (rot a) 2 dx 3 ∧ dx 1 + (rot a) 3 dx 1 ∧ dx 2 .
Ainsi, le théorème de Poincaré exprime en particulier que dans un ouvert U simplement connexe, une fonction a ∈ C
1 (U ; R
n ) s’écrit comme le gradient d’une fonction
f ∈ C
1 (U ; R) (appelée potentiel en physique) si et seulement si son rotationnel est
identiquement nul.
On peut aussi caractériser grâce au théorème de Poincaré les fonctions qui s’écrivent
comme un rotationnel. En effet, pour toute fonction b ∈ C
1 (U ; R
3 ) de composantes
b j , la forme différentielle
b := b 1 dx 2 ∧ dx 3 + b 2 dx 3 ∧ dx 1 + b 3 dx 1 ∧ dx 2
a pour différentielle extérieure
db = (div b) dx 1 ∧ dx 2 ∧ dx 3 .
Par suite, b s’écrit comme le rotationnel d’une fonction f ∈ C
1 (U ; R
3 ) (appelée
fonction de courant en physique) si et seulement si sa divergence est identiquement
nulle.
Enfin, on peut noter que le laplacien d’une fonction f ∈ C
2 (U ; R) où U est un
ouvert de R
3 apparaît naturellement dans la différentielle extérieure de la 2-forme
b :=
∂ f
∂x 1
dx 2 ∧ dx 3 +
∂ f
∂x 2
dx 3 ∧ dx 1 +
∂ f
∂x 3
dx 1 ∧ dx 2 ,
puisque
db = (div ∇ f ) dx 1 ∧ dx 2 ∧ dx 3
et div ∇ f = D f par définition du laplacien D.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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➤ Interprétation pour les opérateurs différentiels classiques
Pour toute fonction f ∈ C
1 (U ; R) où U est un ouvert de R
n , les composantes de ∇ f
dans la base
∂
∂x 1
, . . . ,
∂
∂x n
sont les composantes de d f dans la base (dx 1 , . . . , dx n ).
Pour toute fonction a ∈ C
1 (U ; R
n ) de composantes a j dans la base
∂
∂x 1
, . . . ,
∂
∂x n
, la
forme différentielle
a :=
n
j=1
a j dx j
a pour différentielle extérieure
da =
1≤i< j≤n
∂a j
∂x i
−
∂a i
∂x j
dx i ∧ dx j .
Dans le cas n = 2 cette formule se résume à
da =
∂a 2
∂x 1
−
∂a 1
∂x 2
dx 1 ∧ dx 2 ,
et dans le cas n = 3 elle s’écrit encore, par définition du rotationnel
da = (rot a) 1 dx 2 ∧ dx 3 + (rot a) 2 dx 3 ∧ dx 1 + (rot a) 3 dx 1 ∧ dx 2 .
Ainsi, le théorème de Poincaré exprime en particulier que dans un ouvert U simplement connexe, une fonction a ∈ C
1 (U ; R
n ) s’écrit comme le gradient d’une fonction
f ∈ C
1 (U ; R) (appelée potentiel en physique) si et seulement si son rotationnel est
identiquement nul.
On peut aussi caractériser grâce au théorème de Poincaré les fonctions qui s’écrivent
comme un rotationnel. En effet, pour toute fonction b ∈ C
1 (U ; R
3 ) de composantes
b j , la forme différentielle
b := b 1 dx 2 ∧ dx 3 + b 2 dx 3 ∧ dx 1 + b 3 dx 1 ∧ dx 2
a pour différentielle extérieure
db = (div b) dx 1 ∧ dx 2 ∧ dx 3 .
Par suite, b s’écrit comme le rotationnel d’une fonction f ∈ C
1 (U ; R
3 ) (appelée
fonction de courant en physique) si et seulement si sa divergence est identiquement
nulle.
Enfin, on peut noter que le laplacien d’une fonction f ∈ C
2 (U ; R) où U est un
ouvert de R
3 apparaît naturellement dans la différentielle extérieure de la 2-forme
b :=
∂ f
∂x 1
dx 2 ∧ dx 3 +
∂ f
∂x 2
dx 3 ∧ dx 1 +
∂ f
∂x 3
dx 1 ∧ dx 2 ,
puisque
db = (div ∇ f ) dx 1 ∧ dx 2 ∧ dx 3
et div ∇ f = D f par définition du laplacien D.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit