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4 • Formes différentielles
4.4 THÉORÈME DE FROBENIUS
Le théorème 4.11 (Poincaré) fournit une caractéristation des formes différentielles qui
s’écrivent globalement comme une différentielle exacte.
Un autre résultat fournit une caractérisation des 1-formes différentielles qui
s’écrivent localement comme une différentielle à une fonction multiplicative près.
Théorème 4.15 (Frobenius) Soit v une 1-forme différentielle de classe C
1 sur un
ouvert U de R
n . S’il existe des fonctions u ∈ C
1 (U ; R) et f ∈ C
2 (U ; R) telles que
v = udf , alors v ∧ dv = 0. Réciproquement, si v est une 1-forme différentielle de
classe C
2 telle que v ∧ dv ≡ 0 alors pour tout x 0 ∈ U tel que v(x 0 ) = 0 il existe un
voisinage V 0 ⊂ U de x 0 et des u ∈ C
1 (V 0 ; R), f ∈ C
2 (V 0 ; R) telles que v = udf.
Démonstration. La partie directe est immédiate, puisque si v = udf alors
dv = du ∧ df (d’après la formule (4.5) et la propriété dd = 0) et donc
v ∧ dv = 0 (le produit extérieur étant alterné). La démonstration de la
réciproque repose sur le théorème 5.16 démontré au chapitre 5.4. La forme
différentielle v se décompose sur la base canonique en
v =
n
j=1
f j dx j .
Si v(x 0 ) = 0, il existe j tel que f j ne s’annule pas au voisinage de x 0 ∈ U .
Sans perte de généralité on peut supposer j = n, et quitte à diviser v par f n
(ce qui revient à diviser aussi la fonction u que l’on cherche par f n ) on peut
supposer f n ≡ 1 au voisinage de x 0 .
On va alors montrer que si v ∧ dv = 0, il existe f de classe C
2 dans un
voisinage V de x 0 tel que pour tout x ∈ V et pour tout h ∈ R
n , v(x) · h = 0
équivaut à df(x) · h = 0 : ceci montrera qu’il existe un facteur intégrant
u ∈ C
1 (V ; R) tel que v = udf. En effet, pour tout x ∈ V les formes
linéaires v(x) et df(x) seront colinéaires, le facteur de proportionnalité u(x)
étant donné par u(x) = v(x) · X (x), avec X le champ de vecteurs défini
(puisque df ne s’annule pas plus que v) par
X =
1
∇f 2 ∇f ,
de sorte que df(x) · X (x) ≡ 1 ; donc u sera de classe C
1 comme v et df.
Pour obtenir la fonction f on va appliquer le théorème 5.16 (page 154 sur les
équations aux différentielles totales, puis utiliser un changement de variables
analogue à celui du redressement du flot des équations différentielles ordinaires (théorème 7.12 p. 230). Afin de vérifier que l’hypothèse principale du
4 • Formes différentielles
4.4 THÉORÈME DE FROBENIUS
Le théorème 4.11 (Poincaré) fournit une caractéristation des formes différentielles qui
s’écrivent globalement comme une différentielle exacte.
Un autre résultat fournit une caractérisation des 1-formes différentielles qui
s’écrivent localement comme une différentielle à une fonction multiplicative près.
Théorème 4.15 (Frobenius) Soit v une 1-forme différentielle de classe C
1 sur un
ouvert U de R
n . S’il existe des fonctions u ∈ C
1 (U ; R) et f ∈ C
2 (U ; R) telles que
v = udf , alors v ∧ dv = 0. Réciproquement, si v est une 1-forme différentielle de
classe C
2 telle que v ∧ dv ≡ 0 alors pour tout x 0 ∈ U tel que v(x 0 ) = 0 il existe un
voisinage V 0 ⊂ U de x 0 et des u ∈ C
1 (V 0 ; R), f ∈ C
2 (V 0 ; R) telles que v = udf.
Démonstration. La partie directe est immédiate, puisque si v = udf alors
dv = du ∧ df (d’après la formule (4.5) et la propriété dd = 0) et donc
v ∧ dv = 0 (le produit extérieur étant alterné). La démonstration de la
réciproque repose sur le théorème 5.16 démontré au chapitre 5.4. La forme
différentielle v se décompose sur la base canonique en
v =
n
j=1
f j dx j .
Si v(x 0 ) = 0, il existe j tel que f j ne s’annule pas au voisinage de x 0 ∈ U .
Sans perte de généralité on peut supposer j = n, et quitte à diviser v par f n
(ce qui revient à diviser aussi la fonction u que l’on cherche par f n ) on peut
supposer f n ≡ 1 au voisinage de x 0 .
On va alors montrer que si v ∧ dv = 0, il existe f de classe C
2 dans un
voisinage V de x 0 tel que pour tout x ∈ V et pour tout h ∈ R
n , v(x) · h = 0
équivaut à df(x) · h = 0 : ceci montrera qu’il existe un facteur intégrant
u ∈ C
1 (V ; R) tel que v = udf. En effet, pour tout x ∈ V les formes
linéaires v(x) et df(x) seront colinéaires, le facteur de proportionnalité u(x)
étant donné par u(x) = v(x) · X (x), avec X le champ de vecteurs défini
(puisque df ne s’annule pas plus que v) par
X =
1
∇f 2 ∇f ,
de sorte que df(x) · X (x) ≡ 1 ; donc u sera de classe C
1 comme v et df.
Pour obtenir la fonction f on va appliquer le théorème 5.16 (page 154 sur les
équations aux différentielles totales, puis utiliser un changement de variables
analogue à celui du redressement du flot des équations différentielles ordinaires (théorème 7.12 p. 230). Afin de vérifier que l’hypothèse principale du