4.4 Théorème de Frobenius
115
théorème 5.16 est satisfaite, on commence par calculer
dv = −
1≤i, j≤n−1
∂ f j
∂x i
dx i ∧ dx j −
n−1
j=1
∂ f j
∂x n
dx n ∧ dx j ,
d’où
v ∧ dv = −
1≤i, j≤n−1
∂ f j
∂x i
−
∂ f j
∂x n
f i
dx n ∧ dx i ∧ dx j
= −
1≤i< j≤n−1
∂ f j
∂x i
−
∂ f j
∂x n
f i −
∂ f i
∂x j
+
∂ f i
∂x n
f j
dx n ∧ dx i ∧ dx j .
Par suite, v ∧ dv = 0 équivaut à
∂ f j
∂x i
−
∂ f j
∂x n
f i =
∂ f i
∂x j
−
∂ f i
∂x n
f j
(4.6)
pour tout couple (i, j). D’après le théorème 5.16 dans le cas E = R
n−1 ,
F = R, pour la fonction
f : R
n
→ L(R
n−1 ; R)
x
→ f (x) :=
n−1
j=1
f j (x) dx j ,
sous la condition de symétrie
d ˇ x f (x) · h · k + d x n f (x) · ( f (x) · h) · k =
d ˇ x f (x) · k · h + d x n f (x) · ( f (x) · k) · h ,
(4.7)
il existe un voisinage W de ˇ
x 0 dans R
n−1 et w ∈ C
2 (W ; R) telle que
dw(ˇ x) = f (ˇ x, w(ˇ x)) , w(ˇ x 0 ) = x
0
n ,
où l’on a noté en abrégé ˇ
x := (x 1 , . . . , x n−1 ), ˇ
x 0 := (x
0
1 , . . . , x
0
n−1 ), les
nombres x
0
j désignant les composantes de x 0 . Or la condition (4.7) revient
précisément à (4.6). On peut en fait préciser le résultat du théorème 5.16 en
faisant varier la valeur de w en ˇ
x 0 : par une démonstration analogue à celle
du théorème du flot (théorème 5.13) on montre qu’il existe un voisinage
V de x 0 et une application c ∈ C
2 (V ; R) dont la différentielle partielle par
rapport aux (n − 1) premières variables, d 1 c, vérifie pour tout (ˇ x, y n ) ∈ V ,
d 1 c(ˇ x, y n ) =
n−1
j=1
f j (ˇ x, c(ˇ x, y n )) dx j ,
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit