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4 • Formes différentielles
et telle que pour tout nombre y n pour lequel (ˇ x 0 , y n ) ∈ V on ait
c(ˇ x 0 , y n ) = y n .
On a en particulier
∂c
∂ y n
(ˇ x 0 , x
0
n ) = 1 ,
et donc l’application
y = (y 1 , . . . , y n−1 , y n ) → x := (y 1 , . . . , y n−1 , c(y 1 , . . . , y n−1 , y n ))
est un difféomorphisme local en x 0 . Soit alors f la dernière composante
du difféomorphisme réciproque : par définition on a pour tout (ˇ x, y n ) ∈ V
(voisinage éventuellement réduit de x 0 ),
x n = c(ˇ x, y n ) ⇐⇒ y n = f(ˇ x, x n ) ,
c’est-à-dire que pour tout x ∈ V 0 , voisinage de x 0 (image de V par le
difféomorphisme),
x n = c(ˇ x, f(ˇ x, x n )) .
En dérivant par rapport à x n on trouve 1 = ∂ n c(y)∂ n f(x), tandis qu’en
dérivant par rapport à x j pour j ≤ n − 1 on obtient
0 = ∂ j c(y) + ∂ n c(y)∂ j f(x) ,
d’où encore, en multipliant par ∂ n f(x) et en remarquant que ∂ j c(y) =
f j (x),
0 = ∂ n f(x) f j (x) + ∂ j f(x) ,
quel que soit x ∈ V 0 . Cette identité signifie précisément que df(x) · h =
0 quel que soit h ∈ R
n tel que v(x) · h = 0 (c’est-à-dire que h n =
n−1
j=1 f j (x)h j ).
Remarque : La condition d’intégrabilité de Frobenius v ∧ dv = 0 est trivialement satisfaite par toute 1-forme différentielle v dans R
n avec n ≤ 2. En effet,
si v est une 1-forme, v ∧ dv est une 3-forme. Or les 3-formes dans R
n sont
identiquement nulles si n ≤ 2. Cela s’applique par exemple en thermodynamique. Supposons que l’état d’un système physique soit décrit par son volume
v, son énergie interne e, sa pression p, et que l’on ait une loi d’état donnant p en
fonction de (v, e). Alors de + p dv est une 1-forme différentielle dans R
2 . Donc
il existe un facteur intégrant u, qui se trouve être physiquement la température
du système et une fonction s, correspondant à l’entropie, tels que
u ds = de + p dv .
C’est la relation fondamentale de la thermodynamique.
4 • Formes différentielles
et telle que pour tout nombre y n pour lequel (ˇ x 0 , y n ) ∈ V on ait
c(ˇ x 0 , y n ) = y n .
On a en particulier
∂c
∂ y n
(ˇ x 0 , x
0
n ) = 1 ,
et donc l’application
y = (y 1 , . . . , y n−1 , y n ) → x := (y 1 , . . . , y n−1 , c(y 1 , . . . , y n−1 , y n ))
est un difféomorphisme local en x 0 . Soit alors f la dernière composante
du difféomorphisme réciproque : par définition on a pour tout (ˇ x, y n ) ∈ V
(voisinage éventuellement réduit de x 0 ),
x n = c(ˇ x, y n ) ⇐⇒ y n = f(ˇ x, x n ) ,
c’est-à-dire que pour tout x ∈ V 0 , voisinage de x 0 (image de V par le
difféomorphisme),
x n = c(ˇ x, f(ˇ x, x n )) .
En dérivant par rapport à x n on trouve 1 = ∂ n c(y)∂ n f(x), tandis qu’en
dérivant par rapport à x j pour j ≤ n − 1 on obtient
0 = ∂ j c(y) + ∂ n c(y)∂ j f(x) ,
d’où encore, en multipliant par ∂ n f(x) et en remarquant que ∂ j c(y) =
f j (x),
0 = ∂ n f(x) f j (x) + ∂ j f(x) ,
quel que soit x ∈ V 0 . Cette identité signifie précisément que df(x) · h =
0 quel que soit h ∈ R
n tel que v(x) · h = 0 (c’est-à-dire que h n =
n−1
j=1 f j (x)h j ).
Remarque : La condition d’intégrabilité de Frobenius v ∧ dv = 0 est trivialement satisfaite par toute 1-forme différentielle v dans R
n avec n ≤ 2. En effet,
si v est une 1-forme, v ∧ dv est une 3-forme. Or les 3-formes dans R
n sont
identiquement nulles si n ≤ 2. Cela s’applique par exemple en thermodynamique. Supposons que l’état d’un système physique soit décrit par son volume
v, son énergie interne e, sa pression p, et que l’on ait une loi d’état donnant p en
fonction de (v, e). Alors de + p dv est une 1-forme différentielle dans R
2 . Donc
il existe un facteur intégrant u, qui se trouve être physiquement la température
du système et une fonction s, correspondant à l’entropie, tels que
u ds = de + p dv .
C’est la relation fondamentale de la thermodynamique.