4.5 Théorème de Stokes
117
4.5 THÉORÈME DE STOKES
Commençons par donner quelques rudiments concernant l’intégration des formes
différentielles.
Définition 4.16 Soit U un ouvert borné de R
n orienté par la base canonique, et
v = f dx 1 ∧ · · · ∧ dx n une n-forme différentielle sur U . On définit l’intégrale de v sur
U par
U
v :=
U
f (x) dx 1 ⊗ · · · ⊗ dx n ,
où dx 1 ⊗ · · · ⊗ dx n désigne la mesure de Lebesgue. On utilise la même formule
pour définir l’intégrale sur un ouvert quelconque des formes différentielles à support
compact.
Le théorème du changement de variables (voir par exemple [25, p. 166]) s’exprime
comme suit en terme de formes différentielles.
Théorème 4.17 Si w est un difféorphisme d’un ouvert borné V de R
n sur un ouvert
borné U de R
n , préservant l’orientation (c’est-à-dire que dét dw ne prend que des
valeurs strictement positives), alors pour toute n-forme différentielle
V
w
∗ v =
U
v .
Nous admettrons qu’il existe un moyen naturel de définir l’intégrale d’une n-forme
différentielle sur une variété différentiable orientable de dimension n, objet géométrique généralisant les courbes (de dimension 1) et les surfaces (de dimension 2) que
nous ne chercherons pas à définir précisément ici.
Théorème 4.18 (Stokes) Soit U un ouvert borné de R
n dont le bord ∂U est une
variété différentiable (de dimension n − 1), orientée naturellement par la normale
extérieure à U . Pour toute forme différentielle v de degré n − 1 sur un voisinage de
U on a
U
dv =
∂U
v .
La démonstration de ce théorème est fondée sur le résultat plus simple suivant,
qui nécessite seulement de savoir intégrer les (n − 1)-formes à support compact sur
l’hyperplan {x ∈ R
n ; x 1 = 0}.
Proposition 4.19 Soient H := {x ∈ R
n ; x 1 = 0}, orienté par sa normale
∂
∂x 1
, et
E := {x ∈ R
n ; x 1 < 0}. Pour toute (n − 1)-forme v à support compact sur R
n .
E
dv =
H
v :=
R n−1
w
∗ v
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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4.5 THÉORÈME DE STOKES
Commençons par donner quelques rudiments concernant l’intégration des formes
différentielles.
Définition 4.16 Soit U un ouvert borné de R
n orienté par la base canonique, et
v = f dx 1 ∧ · · · ∧ dx n une n-forme différentielle sur U . On définit l’intégrale de v sur
U par
U
v :=
U
f (x) dx 1 ⊗ · · · ⊗ dx n ,
où dx 1 ⊗ · · · ⊗ dx n désigne la mesure de Lebesgue. On utilise la même formule
pour définir l’intégrale sur un ouvert quelconque des formes différentielles à support
compact.
Le théorème du changement de variables (voir par exemple [25, p. 166]) s’exprime
comme suit en terme de formes différentielles.
Théorème 4.17 Si w est un difféorphisme d’un ouvert borné V de R
n sur un ouvert
borné U de R
n , préservant l’orientation (c’est-à-dire que dét dw ne prend que des
valeurs strictement positives), alors pour toute n-forme différentielle
V
w
∗ v =
U
v .
Nous admettrons qu’il existe un moyen naturel de définir l’intégrale d’une n-forme
différentielle sur une variété différentiable orientable de dimension n, objet géométrique généralisant les courbes (de dimension 1) et les surfaces (de dimension 2) que
nous ne chercherons pas à définir précisément ici.
Théorème 4.18 (Stokes) Soit U un ouvert borné de R
n dont le bord ∂U est une
variété différentiable (de dimension n − 1), orientée naturellement par la normale
extérieure à U . Pour toute forme différentielle v de degré n − 1 sur un voisinage de
U on a
U
dv =
∂U
v .
La démonstration de ce théorème est fondée sur le résultat plus simple suivant,
qui nécessite seulement de savoir intégrer les (n − 1)-formes à support compact sur
l’hyperplan {x ∈ R
n ; x 1 = 0}.
Proposition 4.19 Soient H := {x ∈ R
n ; x 1 = 0}, orienté par sa normale
∂
∂x 1
, et
E := {x ∈ R
n ; x 1 < 0}. Pour toute (n − 1)-forme v à support compact sur R
n .
E
dv =
H
v :=
R n−1
w
∗ v
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit