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4 • Formes différentielles
où w(x 2 , . . . , x n ) := (0, x 2 , . . . , x n ).
Démonstration. D’après la définition 4.16 on a
R n−1
w
∗ v =
R n−1
v(0, x 2 , . . . , x n ) ·
∂
∂x 2
, . . . ,
∂
∂x n
dx 2 ⊗ · · · ⊗ dx n .
Par ailleurs, si l’on décompose v en
v =
n
i=1
f i dx 1 ∧ · · · Z Z
dx i · · · ∧ dx n ,
où la notation dx 1 ∧ · · · Z Z
dx i · · · ∧ dx n désigne comme plus haut la (n − 1)forme linéaire où seule dx i n’apparaît pas, on a
dv =
n
i=1
(−1)
i+1 ∂ f i
∂x i
dx 1 ∧ · · · ∧ dx n .
Or, par intégration dans la direction x i on trouve que, pour i = 1,
x 1 <0
∂ f i
∂x i
dx 1 ⊗ · · · ⊗ dx n = 0 ,
tandis que
x 1 <0
∂ f 1
∂x 1
dx 1 ⊗ · · · ⊗ dx n =
R n−1
f 1 (0, x 2 , . . . , x n ) dx 2 ⊗ · · · ⊗ dx n .
On conclut en observant que
f 1 = v ·
∂
∂x 2
, . . . ,
∂
∂x n
.
Examinons maintenant en détail divers cas particuliers de la formule de Stokes.
Prenons tout d’abord n = 2. L’intégrale d’une 1-forme différentielle v sur une
courbe paramétrée G := {w(t) ∈ U ⊂ R
2 ; t ∈ I } telle que w
(t) = 0 pour tout t ∈ I
(intervalle de R), orientée positivement par rapport à la base canonique de R
2 , est
G
a :=
I
w
∗ a =
I
a(w(t)) · w
(t) dt .
C’est ce que l’on appelle l’intégrale curviligne. La formule de Stokes dans le cas
n = 2 est plus connue sous le nom de formule de Green–Riemann :
U
∂ Q
∂x
−
∂ P
∂ y
dx ∧ dy =
∂U
(Pdx + Qdy) .