Exercices
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EXERCICES
Exercice 3.1 On munit R
n du produit scalaire usuel ·, ··, et de la norme euclidienne associée, notée · ·. Soit A ∈ L(R
n ) tel que
A(x) , y = x , A(y) quels que soient x et y ∈ R
n ,
et soit la fonction
f : R
n
→ R
x
→ f (x) := A(x) , x .
i). Montrer que f est de classe C
∞ .
ii). Montrer qu’il existe v ∈ R
n tel que v = 1 et
f (v) = inf
x=1
f (x) .
iii). Montrer que v est un vecteur propre de A, c’est-à-dire que v = 0 et il existe
l ∈ R tel que A(v) = l v.
iv). Montrer que l est la plus petite valeur propre de A.
Exercice 3.2 On suppose ici n ≥ 2. Soient a et b deux vecteurs distincts de R
n ,
et soit
f : R
n
→ R
x
→ →x − a
2
x − b
2 .
i). Montrer que f est de classe C
∞ sur R
n .
ii). Calculer la différentielle et la différentielle seconde de f .
iii). Trouver tous les points critiques de f , c’est-à-dire les vecteurs x ∈ R
n tels que
d f (x) ≡ 0.
iv). La fonction f possède-t-elle des extrema locaux dans R
n ? des extrema globaux
dans R
n ?
Exercice 3.3 Soient
g : R
+
→ R
t → g(t) := (t − 1)
2 (t + 1) ,
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