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3 • Extrema
(on a utilisé le théorème de Schwarz pour rassembler les dérivées croisées
de L dans le morceau du milieu), d’où, en intégrant par parties le dernier
morceau, l’expression annoncée pour HessA(u). Si A a un minimum local
en u dans C alors pour tout h ∈ C
2 ([0, 1]; R
n ) tel que h(0) = h(1) = 0 et
h
(0) = h
(1) = 0,
d
du
A(u + uh) |u=0 = 0 et
d
2
du 2 A(u + uh) |u=0 ≥ 0 ,
ce qui implique dA(u) = 0 (comme on l’a déjà vu plus haut) et
h , HessA(u) h ≥ 0
quel que soit h.
Un opérateur différentiel de la forme
P := −
d
dt
A(u)
d
dt
+ B(u)
d
dt
+ C(u)
comme ci-dessus est appelé, lorsque n = 1, opérateur de Sturm–Liouville. L’étude de
ses propriétés de « monotonie » (on parle aussi de coercivité), c’est-à-dire du signe de
h, Ph pour h appartenant à certains sous-espaces de C
2 ([0, 1]; R) (ou L
2 ([0, 1]; R)),
est alors intimement liée à l’étude de ses propriétés spectrales, et fait partie de ce que
l’on appelle la théorie de Sturm–Liouville (voir par exemple [24]).