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3 • Extrema
Soient a, b ∈ R
n . Considérons l’ensemble C := {u ∈ E ; u(0) = a , u(1) = b },
convexe, et une fonction(nelle) de la forme
A : u ∈ E →
1
0
L(u(t), u
(t)) dt ,
où L ∈ C
2 (R
n
× R
n ; R) est ce que l’on appelle un lagrangien (et A est la fonctionnelle
d’action associée). On montre sans peine que A est différentiable sur E. D’après
le théorème 3.9, si A admet un minimum u sur C, alors dA(u) · h ≥ 0 pour tout
h ∈ C − u, c’est-à-dire pour tout h ∈ E tel que h(0) = h(1) = 0. Par suite, l’inégalité
est en fait une égalité : une condition nécessaire pour que u soit un minimum de A sur
C est par conséquent (en dérivant sous le signe
, ce qui ne pose pas de problème sur
le compact [0, 1]),
1
0
n
i=1
∂ L
∂q i
(u(t), u
(t)) h i (t) +
1
0
n
i=1
∂ L
∂ ˙
q i
(u(t), u
(t)) h
i (t) dt = 0 ,
quel que soit h ∈ E tel que h(0) = h(1) = 0, où l’on a noté (de façon standard) q i et
˙
q i les composantes des arguments de L. Si de plus u est de classe C
2 , en intégrant par
parties le deuxième morceau, on peut réécrire l’égalité ci-dessus sous la forme
1
0
n
i=1
∂ L
∂q i
(u(t), u
(t)) −
d
dt
∂ L
∂ ˙
q i
(u(t), u
(t))
h i (t) dt = 0 .
Pour qu’elle soit satisfaite quelle que soit la fonction h, il faut et il suffit, d’après ce
que l’on appelle parfois le lemme fondamental du calcul intégral (voir par exemple [2,
Lemme IV.2]) que
∀t ∈ [0, 1] ,
∂ L
∂q i
(u(t), u
(t)) −
d
dt
∂ L
∂ ˙
q i
(u(t), u
(t))
= 0 ,
c’est-à-dire que u soit solution de l’équation différentielle
d
dt
∂ L
∂ ˙
q i
(u, u
)
=
∂ L
∂q i
(u, u
) .
(3.1)
C’est l’équation d’Euler–Lagrange associée à la fonction L. En abrégé elle s’écrit
dA(u) = 0, où dA désigne le gradient variationnel de A, défini par
dA : C
2 ([0, 1]; R
n ) → C
0 ([0, 1]; R
n )
u
→ dA(u) ;
dA(u) i (t) =
∂ L
∂q i
(u(t), u
(t)) −
d
dt
∂ L
∂ ˙
q i
(u(t), u
(t))
, i ∈ {1, . . . , n} .