3.4 Introduction au calcul des variations
83
Si on avait d f (a) · (x − a) < 0, on aurait f (a + u(x − a)) < f (a) pour
u > 0 assez petit. Inversement, si f |C est convexe et si l’on a l’inégalité
d f (a) · (y − a) ≥ 0 pour tout y ∈ C, alors d’après la première partie du
théorème 3.8, a est un minimum de f .
Un exemple important de problème de minimisation sur un ensemble convexe est
fourni par ce que l’on appelle des contraintes-inégalités
g 1 (a) ≤ 0, . . . , g p (a) ≤ 0 ,
où les fonctions g j sont convexes. Un exemple important de fonction convexe à
minimiser est celui des fonction(elle)s quadratiques, c’est-à-dire de la forme
x → f (x) = f(x, x) + (x) ,
où f est une forme bilinéaire continue positive et est une forme linéaire continue.
3.3.2 Fonctions convexes conjuguées
Soit f une fonction strictement convexe sur un ouvert convexe U de l’espace E. Pour
tout q ∈ E
∗ = L(E; R), on définit
f
∗ (q) = sup
u∈U
(q · u − f (u)) .
La fonction u ∈ U → f (u) − q · u étant strictement convexe, ou ce qui est équivalent,
la fonction u ∈ U → q · u − f (u) étant strictement concave, elle admet au plus un
maximum local, et c’est un maximum global (d’après le théorème 3.8). Par suite on
a soit f
∗ (q) = +∞ soit f
∗ (q) = q · u
∗ (q) − f (u
∗ (q)), où u
∗ (q) est l’unique point
critique (s’il existe) de la fonction u ∈ U → q · u − f (u), c’est-à-dire que
q = d f (u
∗ (q)) .
La fonction f
∗ : E
∗
→] −∞, +∞] ainsi définie est convexe : c’est la fonction convexe
conjugée de f , aussi appelée transformée de Fenchel–Moreau de f . Dans l’exemple
très simple de la fonction d’une variable réelle f : u → u
2 /2 on vérifie aisément que,
moyennant l’identification de L(R; R) avec R, f
∗ = f .
3.4 INTRODUCTION AU CALCUL DES VARIATIONS
Considérons l’espace E = C
1 ([0, 1]; R
n ) muni de la norme définie par
u := max(u ∞ , u
∞ ) , u ∞ := max
t∈[0,1]
u(t) R n .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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Si on avait d f (a) · (x − a) < 0, on aurait f (a + u(x − a)) < f (a) pour
u > 0 assez petit. Inversement, si f |C est convexe et si l’on a l’inégalité
d f (a) · (y − a) ≥ 0 pour tout y ∈ C, alors d’après la première partie du
théorème 3.8, a est un minimum de f .
Un exemple important de problème de minimisation sur un ensemble convexe est
fourni par ce que l’on appelle des contraintes-inégalités
g 1 (a) ≤ 0, . . . , g p (a) ≤ 0 ,
où les fonctions g j sont convexes. Un exemple important de fonction convexe à
minimiser est celui des fonction(elle)s quadratiques, c’est-à-dire de la forme
x → f (x) = f(x, x) + (x) ,
où f est une forme bilinéaire continue positive et est une forme linéaire continue.
3.3.2 Fonctions convexes conjuguées
Soit f une fonction strictement convexe sur un ouvert convexe U de l’espace E. Pour
tout q ∈ E
∗ = L(E; R), on définit
f
∗ (q) = sup
u∈U
(q · u − f (u)) .
La fonction u ∈ U → f (u) − q · u étant strictement convexe, ou ce qui est équivalent,
la fonction u ∈ U → q · u − f (u) étant strictement concave, elle admet au plus un
maximum local, et c’est un maximum global (d’après le théorème 3.8). Par suite on
a soit f
∗ (q) = +∞ soit f
∗ (q) = q · u
∗ (q) − f (u
∗ (q)), où u
∗ (q) est l’unique point
critique (s’il existe) de la fonction u ∈ U → q · u − f (u), c’est-à-dire que
q = d f (u
∗ (q)) .
La fonction f
∗ : E
∗
→] −∞, +∞] ainsi définie est convexe : c’est la fonction convexe
conjugée de f , aussi appelée transformée de Fenchel–Moreau de f . Dans l’exemple
très simple de la fonction d’une variable réelle f : u → u
2 /2 on vérifie aisément que,
moyennant l’identification de L(R; R) avec R, f
∗ = f .
3.4 INTRODUCTION AU CALCUL DES VARIATIONS
Considérons l’espace E = C
1 ([0, 1]; R
n ) muni de la norme définie par
u := max(u ∞ , u
∞ ) , u ∞ := max
t∈[0,1]
u(t) R n .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit