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3 • Extrema
et d
2 f (x) = d
2 g(x). Or, si f est convexe, la première partie montre que x
est un minimum (global) de g |C . En appliquant à u ∈ [0, 1] → g(x +u(y−x))
la formule de Taylor–Young exactement comme dans la démonstration de la
proposition 3.2, on en déduit que nécessairement d
2 f (x)·(y − x, y − x) ≥ 0.
Inversement, supposons que l’on ait cette inégalité quels que soient x et y
dans C. Alors d’après la formule des accroissements finis (voir le théorème
8.24, p. 301 dans l’appendice) appliquée entre 0 et 1 à la fonction
[0, 1] → R
u
→ f (x + u(y − x)) + (1 − u) d f (x + u(y − x)) · (y − x) ,
il existe u ∈]0, 1[ tel que
f (y) − f (x) − d f (x) · (y − x) = (1 − u) d
2 f (x + u(y − x)) · (y − x, y − x)
=
1
1 − u
d
2 f (x + u(y − x)) · (y − (x + u(y − x)), y − (x + u(y − x))) ≥ 0 .
Donc f est convexe d’après la première partie.
Théorème 3.9 Soit f : U → R une fonction définie sur un ouvert U d’un R-espace
de Banach E et soit C un sous-ensemble convexe de U .
i). si f |C est convexe et admet un minimum local dans C, c’est un minimum global ;
ii). si f |C est strictement convexe alors elle admet au plus un minimum, et c’est un
minimum strict ;
iii). si f est différentiable, une condition nécessaire pour qu’un point a ∈ C soit un
minimum de f |C est d f (a) · (y − a) ≥ 0 pour tout y ∈ C. Si de plus f |C est
convexe, cette condition est également suffisante.
Démonstration.
i). supposons f |C convexe et admettant un minimum local en a ∈ C, et soit
x ∈ C. Pour tout u ∈ [0, 1], f (a + u(x − a)) − f (a) ≤ u ( f (x) − f (a))
et le membre de gauche est positif ou nul pour u > 0 assez petit. Par
conséquent, f (x) − f (a) ≥ 0.
ii). si f |C est strictement convexe, on obtient comme ci-dessus l’inégalité
stricte f (x) − f (a) > 0 pour x
= a. Un minimum strict est toujours
unique.
iii). supposons f différentiable et admettant un minimum en a ∈ C. Soit
x ∈ C : il existe une fonction ´ : u → ´(u) tendant vers 0 en 0, telle que
f (a + u(x − a)) − f (a) = u d f (a) · (x − a) + u ´(u) .
3 • Extrema
et d
2 f (x) = d
2 g(x). Or, si f est convexe, la première partie montre que x
est un minimum (global) de g |C . En appliquant à u ∈ [0, 1] → g(x +u(y−x))
la formule de Taylor–Young exactement comme dans la démonstration de la
proposition 3.2, on en déduit que nécessairement d
2 f (x)·(y − x, y − x) ≥ 0.
Inversement, supposons que l’on ait cette inégalité quels que soient x et y
dans C. Alors d’après la formule des accroissements finis (voir le théorème
8.24, p. 301 dans l’appendice) appliquée entre 0 et 1 à la fonction
[0, 1] → R
u
→ f (x + u(y − x)) + (1 − u) d f (x + u(y − x)) · (y − x) ,
il existe u ∈]0, 1[ tel que
f (y) − f (x) − d f (x) · (y − x) = (1 − u) d
2 f (x + u(y − x)) · (y − x, y − x)
=
1
1 − u
d
2 f (x + u(y − x)) · (y − (x + u(y − x)), y − (x + u(y − x))) ≥ 0 .
Donc f est convexe d’après la première partie.
Théorème 3.9 Soit f : U → R une fonction définie sur un ouvert U d’un R-espace
de Banach E et soit C un sous-ensemble convexe de U .
i). si f |C est convexe et admet un minimum local dans C, c’est un minimum global ;
ii). si f |C est strictement convexe alors elle admet au plus un minimum, et c’est un
minimum strict ;
iii). si f est différentiable, une condition nécessaire pour qu’un point a ∈ C soit un
minimum de f |C est d f (a) · (y − a) ≥ 0 pour tout y ∈ C. Si de plus f |C est
convexe, cette condition est également suffisante.
Démonstration.
i). supposons f |C convexe et admettant un minimum local en a ∈ C, et soit
x ∈ C. Pour tout u ∈ [0, 1], f (a + u(x − a)) − f (a) ≤ u ( f (x) − f (a))
et le membre de gauche est positif ou nul pour u > 0 assez petit. Par
conséquent, f (x) − f (a) ≥ 0.
ii). si f |C est strictement convexe, on obtient comme ci-dessus l’inégalité
stricte f (x) − f (a) > 0 pour x
= a. Un minimum strict est toujours
unique.
iii). supposons f différentiable et admettant un minimum en a ∈ C. Soit
x ∈ C : il existe une fonction ´ : u → ´(u) tendant vers 0 en 0, telle que
f (a + u(x − a)) − f (a) = u d f (a) · (x − a) + u ´(u) .